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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mi 23.09.2009
Autor: ball

Aufgabe
Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n * (\wurzel{n+1} - \wurzel{n}) [/mm]

Hallo!

Ich soll die Reihe auf Konvergenz prüfen. Sie soll nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren.
Die Folge [mm] a_{n} := \wurzel{n+1} - \wurzel{n} [/mm] ist eine Nullfolge positiver Zahlen, das habe ich bereits nachgeprüft.
Die einzige Voraussetzung, die mir fehlt, ist nachzuprüfen, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN [/mm] monoton fallend ist.

Die Monotonie nachzuweisen sollte nicht allzu schwer sein, aber ich bekomm's nicht hin.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke & Grüße


        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 23.09.2009
Autor: schachuzipus

Hallo ball und herzlich [willkommenmr],



> Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n * (\wurzel{n+1} - \wurzel{n})[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Ich soll die Reihe auf Konvergenz prüfen. Sie soll nach
> dem Leibniz-Kriterium konvergieren.
>  Die Folge [mm]a_{n} := \wurzel{n+1} - \wurzel{n}[/mm] ist eine
> Nullfolge positiver Zahlen, das habe ich bereits
> nachgeprüft.
> Die einzige Voraussetzung, die mir fehlt, ist
> nachzuprüfen, dass die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

monoton

> fallend ist.
>  
> Die Monotonie nachzuweisen sollte nicht allzu schwer sein,
> aber ich bekomm's nicht hin.

Erweitere mal den Term $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ mit $\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

Damit wirst du wegen der 3.binomischen Formel die Wurzeln im Zähler los.

Das ist ein ganz typischer Erweiterungs"trick", den es ich lohnt zu merken!

Das gibt $\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=...$

Dann bedenke, dass die Wurzelfunktion monoton steigend ist ...

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Danke & Grüße
>  


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Mi 23.09.2009
Autor: ball

Hi,

danke, den Tipp habe ich schon gebraucht um zu zeigen, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, denn das folgt ja aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} = 0 [/mm].

Aber für monoton fallend ist ja [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} \ge 1[/mm] zu zeigen, oder? Und das bekomme ich nicht hin...

Danke.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Alternative
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 23.09.2009
Autor: Loddar

Hallo ball!


Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion kann man nun auch auf die Monotonie des Terms
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}$$ [/mm]
schließen.


Aber Du kannst ja auch alternativ den Term [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] ermitteln. Diese Differenz sollte bei "monoton fallend" einen negativen Wert erhalten.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mi 23.09.2009
Autor: ball

Jo, da hab ich lange auf dem Schlauch gestanden...

Damit gilt:

[mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} = \bruch{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge 1[/mm], oder?

Dankeschön....

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mi 23.09.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Jo, da hab ich lange auf dem Schlauch gestanden...
>  
> Damit gilt:
>  
> [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}} = \bruch{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge 1[/mm],
> oder? [ok]

Ja, wegen [mm] $\blue{\sqrt{n+2}>\sqrt{n}}$ [/mm] folgt das direkt!

[mm] $\frac{\blue{\sqrt{n+2}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} [/mm] \ [mm] \blue{>} [/mm] \ [mm] \frac{\blue{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=1$ [/mm]

>  
> Dankeschön....


LG

schachuzipus

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