Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mi 18.11.2009 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | man bestimme ob die Reihe konvergiert bzw. absolut konvergiert
[mm] \summe_{k=1}^{\inf}(-1)^k\bruch{a^k}{k!} [/mm] mit a>0 |
Hallo Leute,
also, klar ist mir schonmal das ich das mit dem Quotientenkriterium mache...also hab ich damit angefangen.
Zur Vereinfachung kann man denke ich annehmen das [mm] |(-1)^k\bruch{a^k}{k!}| [/mm] = [mm] \bruch{a^k}{k!} [/mm] ist.
Der Anfang wäre dann also:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a^{k+1}}{(k+1)!}\bruch{k!}{a^k} [/mm] richtig? Kann ich das noch weiter vereinfachen? Oder soll ich das abschätzen? Könntet ihr mir einen Tipp geben wie ich weitermache? Bin da irgendwie unsicher...
Gruß
chip
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> man bestimme ob die Reihe konvergiert bzw. absolut
> konvergiert
> [mm]\summe_{k=1}^{\inf}(-1)^k\bruch{a^k}{k!}[/mm] mit a>0
> Hallo Leute,
> also, klar ist mir schonmal das ich das mit dem
> Quotientenkriterium mache...also hab ich damit angefangen.
> Zur Vereinfachung kann man denke ich annehmen das
> [mm]|(-1)^k\bruch{a^k}{k!}|[/mm] = [mm]\bruch{a^k}{k!}[/mm] ist.
Das mußt Du nicht annehmen, das ist so (da a>0) !!
> Der Anfang wäre dann also:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a^{k+1}}{(k+1)!}\bruch{k!}{a^k}[/mm]
> richtig? Kann ich das noch weiter vereinfachen?
Und wie !! im Quotienten [mm] \bruch{a^{k+1}}{(k+1)!}\bruch{k!}{a^k} [/mm] kannst Du doch jede Menge kürzen, bis fast nichts mehr übrig bleibt.
Es ist [mm] \bruch{a^{k+1}}{a^k}= [/mm] ... ? ...
Es ist [mm] \bruch{k!}{(k+1)!}= [/mm] ... ? ...
FRED
> Oder soll
> ich das abschätzen? Könntet ihr mir einen Tipp geben wie
> ich weitermache? Bin da irgendwie unsicher...
> Gruß
> chip
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 18.11.2009 | | Autor: | chipbit |
Danke Fred für deine schnelle Antwort :)
Ja, klar ist es so, war von mir nur eben falsch formuliert...da muss ich noch dran arbeiten, das ich mich da richtig ausdrücke.
[mm] \bruch{a^{k+1}}{a^k}=a^{k+1-k}=a^1=a
[/mm]
[mm] \bruch{k!}{(k+1)!}=...also [/mm] hier bin ich mir nicht sooo sicher, würde aber [mm] sagen...=\bruch{1}{k+1} [/mm] richtig?
damit würde ich dann also auf [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a}{k+1}
[/mm]
mit a>0 und dem Umstand das k+1 immer größer wird...kann ich dann sagen das der Grenzwert <1 ist? Hab dafür jetzt nicht so die Vorstellungskraft...oder hab ich oben doch was falsch gemacht bzw. wie argumentiere ich richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred für deine schnelle Antwort :)
> Ja, klar ist es so, war von mir nur eben falsch
> formuliert...da muss ich noch dran arbeiten, das ich mich
> da richtig ausdrücke.
>
> [mm]\bruch{a^{k+1}}{a^k}=a^{k+1-k}=a^1=a[/mm]
richtig
>
> [mm]\bruch{k!}{(k+1)!}=...also[/mm] hier bin ich mir nicht sooo
> sicher, würde aber [mm]sagen...=\bruch{1}{k+1}[/mm] richtig?
ja
>
> damit würde ich dann also auf
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a}{k+1}[/mm]
> mit a>0 und dem Umstand das k+1 immer größer wird...kann
> ich dann sagen das der Grenzwert <1 ist?
Der Grenzwert ist = 0 !!
Und was folgt daraus ?
FRED
> Hab dafür jetzt
> nicht so die Vorstellungskraft...oder hab ich oben doch was
> falsch gemacht bzw. wie argumentiere ich richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 18.11.2009 | | Autor: | chipbit |
Da der Grenzwert 0 ist, ist er ja kleiner als 1 und damit folgt dann das die Reihe absolut konvergiert.
Vielen Dank für deine Hilfe!
|
|
|
|
