Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die Reihe [mm] \summe_{i=3}^{\infty} [/mm] 1/ [i*log(i)*(log(log(i)))^ 2] auf Konvergenz.. |
Ich wuerde das ungetuem gern so umformen, dass ich am Ende die als konvergent bekannte Reihe [mm] \summe_{i=3}^{\infty} [/mm] 1/ [mm] i^2 [/mm] haette. Ich weiss aber nicht, wie ich dort hinkomme....Ein kleiner Tipp waere toll.
(log(x)=ln(x)/ln(2))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Hier eignet sich hervorragend das Integralkriterium:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium
FRED
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gut,dann muss ich also zeigen dass ein Integral [mm] \integral_{3}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] (mit x anstelle der i) existiert. Mache ich das, indem ich integriere? Das wuerde ehrlichgesagt keinen Spass machen:-/. Oder gibt es nicht einen eleganteren Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> gut,dann muss ich also zeigen dass ein Integral
> [mm]\integral_{3}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] (mit x anstelle der i)
> existiert. Mache ich das, indem ich integriere? Das wuerde
> ehrlichgesagt keinen Spass machen:-/.
Mann , mann, mann, äh besser: Frau,frau frau: machs doch einfach mal !!!!
Du wirst sehen, es bleibt angenehm
1. Substituiere u=log(x) .
2. Substituiere dann v= log(u)
FRED
> Oder gibt es nicht
> einen eleganteren Weg?
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Ah.. dann suche ich das Integral von 1: [mm] (xuv^2)
[/mm]
Ich finde bloß keine Produkt bzw. Kettenregel
zum Integrieren. Wie war das nochmal?
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Hallo Larissa!
Das stimmt aber vorne und hinten nicht. Bitte rechne mal schrittweise vor.
Und vergiss bei den einzelnen Substitutionen auch nicht, das jeweilige Differential zu ersetzen!
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah.. dann suche ich das Integral von 1: [mm](xuv^2)[/mm]
> Ich finde bloß keine Produkt bzw. Kettenregel
> zum Integrieren. Wie war das nochmal?
ich fürchte Du konntest mit meinen Tipps überhapt nichts anfangen !!
Zu berechnen ist [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx}
[/mm]
Rechne nach, dass mit der Substitution u=log(x) gilt:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{u*(log(u))^2}du}
[/mm]
überzeuge Dich davon, dass die Substitztion v=log(u) liefert:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{u*(log(u))^2}du}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{v^2}dv}
[/mm]
Das letzte Integral überlasse ich Dir zu berechnen.
Nun machst Du die beiden Substitutionen rückgängig und erhälst eine wunderschöne Stammfunktion von
[mm] \bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}
[/mm]
FRED
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Die Stammfunktion soll immer noch so aussehen wie am Anfang das Integral???
Ist damit geklärt, dass die Reihe konvergiert?
Könnt ihr mir trotzdem erklären wie ihr integriert hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Do 10.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Stammfunktion soll immer noch so aussehen wie am Anfang
> das Integral???
Wer sagt das ? Ich habe geschrieben: ................."erhälst eine wunderschöne Stammfunktion von
$ [mm] \bruch{1}{x\cdot{}log(x)\cdot{}(log(log(x)))^2} [/mm] $"...................
Du hast wohl das Wörtchen "von" überlesen.
> Ist damit geklärt, dass die Reihe konvergiert?
Noch nicht. Du mußt untersuchen ob der Grenzwert
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{3}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
existiert
> Könnt ihr mir trotzdem erklären wie ihr integriert hab?
Das hab ich doch oben und zwar ausführlichst !
FRED
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Na, mir ist nicht wirklich klar wie du von u nach v kommst.
Also das letzte Integral ist -1/ v in den Grenzen 3 bis [mm] \infty
[/mm]
Wenn ich resubstituiere habe ich dann -1/(log(log(x)) in den Grenzen ....
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 10.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na, mir ist nicht wirklich klar wie du von u nach v
> kommst.
Substitution v=log(u)
> Also das letzte Integral ist -1/ v in den Grenzen 3 bis
> [mm]\infty[/mm]
> Wenn ich resubstituiere habe ich dann -1/(log(log(x))
Ja
FREd
in
> den Grenzen ....
> Ist das richtig so?
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