Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r} [/mm] für 0<r<1, r rational, auf Konvergenz und absolute Konvergenz. |
Liebe Leute!
Hab schon eine Zeit über diesem Beispiel gebrütet, komm aber nicht wirklich weiter. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee? Das einzige worauf ich bis jetzt gekommen bin: r=1/2 stellt irgendwie eine "Ausnahme" dar, doch ob die Reihe für diesen Wert konvergiert, konnte ich bis jetzt ebensowenig zeigen wie für die anderen Werte von r :-( Aber wie gesagt: vielleicht weiß jemand von euch weiter?!
im Voraus besten Dank,
Georg
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Hallo Georg,
das Quotientenkriterium liefert hier doch eine Aussage.
edit: da habe ich was gesehen, was gar nicht da ist. QK geht leider doch nicht. Sorry.
Wieso soll [mm] r=\tfrac{1}{2} [/mm] einen besonderen Fall darstellen?
...wird in den folgenden Beiträgen ja geklärt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:28 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo Georg,
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> das Quotientenkriterium liefert hier doch eine Aussage.
das sehe ich aber auch nicht. Es ist ja [mm] $a_i=\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}=\frac{1}{i^r(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}$ [/mm] und damit
[mm] $$\underbrace{\lim}_{:=\lim\limits_{i \to \infty}} a_{i+1}/a_i=\lim \frac{i^r(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}{(i+1)^r*(\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1})}=\lim \left(\frac{i}{i+1}\right)^r*\lim \frac{\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1}}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}=\left(\lim\frac{i}{i+1}\right)^r*1=1^r*1=1\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r} [/mm] $
Majorantenkriterium ist hier die einfachste Methode die Konvergenz bzw. absolute Konvergenz zu zeigen.
Multipliziere einfach den Nenner und Zähler mit [mm] {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}
[/mm]
Dann erhälst du:
[mm] \bruch{1}{i^r* {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}} [/mm] , jetzt kannst du halt abschätzen und erhälst
[mm] \bruch{1}{i^r*i} [/mm] ( je kleiner der nenner, desto größer der wert und erhälst
[mm] \bruch{1}{i^r^{+1}} [/mm] und damit hast du deine konvergenz. Du weiß bestimmt für [mm] 1/r^1 [/mm] hasst ja die harmonische Reihe die divergent. Deshalb ist r>0 vorgegeben
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Hallo!
danke für eure Antworten! Aber eines versteh ich noch nicht ganz: Wie kann man [mm] \bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{i^{r+1}} [/mm] abschätzen? Es gilt ja offensichtlich nicht, dass der erste Ausdruck kleiner gleich dem zweiten ist, d.h. wie kann man dann überhaupt das Majorantenkriterium anwenden?
lg Georg
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Huhu,
die Abschätzung meines Vorposters [mm] $\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] < [mm] \bruch{1}{i^{r}*i} [/mm] $ ist falsch, da dafür ja gelten müsste
$i < [mm] \wurzel{i+1}+\wurzel{i}$, [/mm] was für i>5 offensichtlich nicht mehr zutrifft.
Aber was geht, ist:
[mm] $\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] < [mm] $\bruch{1}{i^r* 2\wurzel{i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i^{r+\bruch{1}{2}}}$
[/mm]
edit: Das würde auch deine Sonderstellung bei [mm] $r=\bruch{1}{2}$ [/mm] erklären 
Ne bessere Abschätzung seh ich effektiv gerade auch nicht.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 13.06.2010 | | Autor: | zim_georg |
Danke vielmals für eure hilfreichen Antworten!
lg Georg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> danke für eure Antworten! Aber eines versteh ich noch
> nicht ganz: Wie kann man [mm]\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})}[/mm]
> durch [mm]\bruch{1}{i^{r+1}}[/mm] abschätzen? Es gilt ja
> offensichtlich nicht, dass der erste Ausdruck kleiner
> gleich dem zweiten ist, d.h. +wie kann man dann überhaupt
> das Majorantenkriterium anwenden?
eigentlich (so jedenfalls: erstmal) gar nicht. Dennoch gibt es einen Trick, den man hier anwenden kann, und zwar analog zu hier (insbesondere schlag' mal den Satz + Beweis im Heuser nach, den ich dort erwähne):
Es gilt nämlich (ich benutze dabei Gonozal_IXs Vorüberlegungen)
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}*\blue{i^{r+1/2}}=\frac{1}{i^r*(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}*i^{r+1/2}=\frac{1}{\sqrt{(i+1)/i}+\sqrt{i/i}} \to 1/(\sqrt{1}+\sqrt{1})=1/2 [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Daher hat [mm] $\underbrace{\sum}_{=:\sum\limits_i} \frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum \frac{1}{i^{r+1/2}}$, [/mm] und konvergiert daher (z.B. nach dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Verdichtungssatz) genau dann, wenn $r+1/2 > 1$ bzw. $r > 1/2$ ist.
P.S.:
In dem Satz von Heuser, auf den ich verweise, benutzt man im Beweis übrigens das Majorantenkriterium. Man könnte also, ohne diesen Satz direkt zu benutzen, mithilfe von [mm] $(\*)\,$ [/mm] und dem Majorantenkriterium auch das ganze direkt beweisen. Es geht also schon mit dem Majokriterium, man braucht aber auch noch zusätzliche Kenntnisse (Cauchyscher Verdichtungssatz oder [mm] $\sum 1/n^{\alpha}$ [/mm] kgt. [mm] $\gdw$ $\alpha [/mm] > 1$) oder Überlegungen.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 12:54 So 13.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
deine Abschätzung als Majorante ist falsch.
Deine Ungleichung gilt nur für i<5 und dass ist es nach 5 Schritten nicht mehr
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 13:01 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r}[/mm]
>
> Majorantenkriterium ist hier die einfachste Methode die
> Konvergenz bzw. absolute Konvergenz zu zeigen.
> Multipliziere einfach den Nenner und Zähler mit
> [mm]{\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}[/mm]
>
> Dann erhälst du:
> [mm]\bruch{1}{\red{i^r* {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, jetzt kannst
ist sicher nur ein Verschreiber, aber da fehlen Klammern:
$$\bruch{1}{i^r* \blue{(}\wurzel{i+1}+\wurzel{i}\blue{)}}}\,.$$
Mengenklammern schreibt man mit Latex übrigens so $\{\}$.
> du halt abschätzen und erhälst
> [mm]\bruch{1}{i^r*i}[/mm] ( je kleiner der nenner, desto größer
> der wert
Das wäre richtig, wenn man $i [mm] \le \sqrt{i}+\sqrt{i+1}$ [/mm] nachweisen könnte. Das wird Dir aber nicht gelingen (quadriere diese Ungleichung mal, das ist hier eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten [mm] $\ge [/mm] 0$, und rechne weiter...).
> und erhälst
> [mm]\bruch{1}{i^r^{+1}}[/mm] und damit hast du deine konvergenz. Du
> weiß bestimmt für [mm]1/r^1[/mm] hasst ja die harmonische Reihe
> die divergent. Deshalb ist r>0 vorgegeben
Damit stimmt der Rest auch nicht mehr.
Beste Grüße,
Marcel
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