Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}} [/mm] |
Hi,
habe hier folgendes gemacht: [mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}} [/mm] > [mm] \bruch{-1}{n} [/mm] Also ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1}{n} [/mm] divergente Minorante. Somit divergiert
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}.
[/mm]
Stimmt das so?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
> Hi,
>
> habe hier folgendes gemacht:
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm] > [mm]\bruch{-1}{n}[/mm]
> Also ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1}{n}[/mm] divergente Minorante.
Das macht keinen Sinn. Deine "Minorante" geht gegen [mm] -\infty. [/mm] Mit so einer Minorante kann man auch jede konvergente Reihe nach unten abschätzen. Dann gäbe es plötzlich keine konvergenten Reihen mehr (?)
> Somit divergiert
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein.
Überlege dir, [mm] \sqrt[n]{n}\to1, n\to\infty [/mm] (vermutlich ist das sogar bekannt). Das heißt, auch [mm] \frac{1}{\sqrt[n]{n}}\to1, n\to \infty. [/mm] Da im Zähler aber [mm] (-1)^n [/mm] steht, muss die Partialsummenfolge zwei Häufungspunkte haben und ist somit divergent
>
> LG Loriot95
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Idee von kamaleonti ( "Partialsummenfolge zwei Häufungspunkte") halte ich nicht für besonders brauchbar: Einfacher gehts so:
Die Reihenglieder sind [mm] $a_n=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}$. [/mm] Folglich gilt:
[mm] $|a_n|=\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0$.
Damit ist auch [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge, somit ist [mm] \sum a_n [/mm] divergent.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Das mit der Abschätzung wusste ich nicht, das dies nicht möglich ist. Danke schön. :)
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