Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man untersuche die Reihe auf Konvergenz
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] * (1/2 [mm] +1/k)^k [/mm] |
Ich hätte noch eine Frage zu Konvergenz und Reihen.
Welches Kriterium ist hier am besten?
Hab an Wurzelkriterum gedacht.
[mm] \wurzel[k]{(-1)^k * (1/2 +1/k)^k}
[/mm]
=
[mm] \wurzel[k]{(-1)^k} [/mm] * [mm] \wurzel[k]{(1/2 +1/k)^k}
[/mm]
= (-1) * 1/2 +1/k
= -1/2 -1/k
k-> [mm] \infty
[/mm]
= -1/2
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 11.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die nte wurzel aus -1 kann man i.A, nicht ziehen!
a) kannst du untersuchen ob die Reihe absolut konv. dann Wurzelkriterium
b) es ist eine Leibnizreihe, du musst nur untersuchen, ob die Glieder eine Nullfolge bilden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
Ja ich soll einmal überprüfen ob sie konvergiert und ob sie auch absolut konvergiert!
->Wurzelkriterium
also kann ich das nicht so machen wie im ersten Beitrag vorgezeigt? Wie denn anders?
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> Ja ich soll einmal überprüfen ob sie konvergiert und ob
> sie auch absolut konvergiert!
>
> ->Wurzelkriterium
> also kann ich das nicht so machen wie im ersten Beitrag
> vorgezeigt? Wie denn anders?
Hallo!
Bei alternierenden Reihen, die die Form [mm](-1)^k \cdot a_n[/mm] haben eignet sich das Leibnitz Kriterium.
Haben die Reihenglieder also die Form: [mm](-1)^k \cdot a_n[/mm] und [mm]
a_n[/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
Ja aber war dann das durchgeführte Wurzelkriterium für umsonst? Ich mein es hat mir ja auch etwas geliefert??ABer ich muss dass mit betrag machen oder??
[mm] lim_{k->\infty} \wurzel[k]{|a_n|}$= lim_{k->\infty} \wurzel[k]{|(-1)^k \cdot{} (1/2 +1/k)^k|} [/mm] $= [mm] lim_{k->\infty}$ \wurzel[k]{|(1/2 +1/k)^k|} =lim_{k->\infty}1/2 [/mm] +1/k =1/2
1/2 < 1
->absolute Konvergenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 11.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
absolute Konvergenz heisst doch
[mm] \summe_{i=1}^{n}|a_i| [/mm] konvergiert, da hat dein [mm] (-1)^i [/mm] nichts zu suchen. dafür kannst du also dein Wurzelkriterium benutzen, so wie du es jetzt richtig gemacht hast.
nicht aber für die alternierende reihe. da benutzt du das leibnizkriterium.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> absolute Konvergenz heisst doch
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|a_i|[/mm]
[mm] $$\sum_{i=1}^\red{\infty}|a_i|$$
[/mm]
> konvergiert, da hat dein [mm](-1)^i[/mm]
> nichts zu suchen. dafür kannst du also dein
> Wurzelkriterium benutzen, so wie du es jetzt richtig
> gemacht hast.
> nicht aber für die alternierende reihe. da benutzt du das
> leibnizkriterium.
der letztstehende rotmarkierte Satz ist so entweder komplett falsch, oder aber mindestens missverständlich.
Natürlich beinhaltet die absolute Konvergenz einer Reihe
[mm] $$\sum_k b_k\,,$$
[/mm]
also die Konvergenz von
[mm] $$\sum_k |b_k|$$
[/mm]
insbesondere die Konvergenz von [mm] $\sum_k b_k [/mm] $ selbst. (Jedenfalls für Reihen mit reellen oder auch komplexen Gliedern.)
Das gilt auch dann, wenn
[mm] $$b_k=(-1)^k a_k$$
[/mm]
ist, wobei (fast alle) [mm] $a_k$ [/mm] das gleiche Vorzeichen haben. (Natürlich ist dann [mm] $\sum_k |b_k|=\sum_k |(-1)^k a_k|=\sum_k |(-1)^k| |a_k|=\sum_k|a_k|\,.$)
[/mm]
Hat man also absolute Konvergenz einer (reellen oder komplexen) Reihe nachgewiesen, so hat man gewissermaßen gewonnen:
Die Konvergenz der Reihe folgt dann stets. Auch, wenn die Reihe "alternierende Glieder" hat.
Nur kann man manchmal nicht so einfach die absolute Konvergenz einer Reihe zeigen, oder man kann sie gar nicht zeigen - während man jedoch mit Leibniz wenigstens die Konvergenz der Reihe schnell einsieht.
P.S.:
Es sei übrigens daran erinnert, dass man bei jeder Reihe [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] am besten erstmal guckt, ob die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] der Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Ist das nämlich nicht der Fall, so kann die Reihe eh schon nicht mehr konvergieren - insbesondere auch nicht absolut. (Siehe "Trivialkriterium für Reihen".)
(Die in [mm] $\IR$ [/mm] divergente Reihe [mm] $\sum_n [/mm] 1/n$ zeigt jedoch, dass obige Bedingung zwar notwendig, nicht aber hinreichend für die Konvergenz einer Reihe ist.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
entgegen aller Kritik hier:
> Ja aber war dann das durchgeführte Wurzelkriterium für
> umsonst? Ich mein es hat mir ja auch etwas geliefert??ABer
> ich muss dass mit betrag machen oder??
> [mm]lim_{k->\infty} \wurzel[k]{|a_n|}$= lim_{k->\infty} \wurzel[k]{|(-1)^k \cdot{} (1/2 +1/k)^k|}[/mm]
> $= [mm]lim_{k->\infty}$ \wurzel[k]{|(1/2 +1/k)^k|} =lim_{k->\infty}1/2[/mm]
> +1/k =1/2
>
> 1/2 < 1
> ->absolute Konvergenz
>
eigentlich ist das soweit korrekt, ich würde aber die [mm] $\limsup$-Anwendung [/mm] benutzen:
Und zwar ist in der Tat bei
[mm] $$\sum (-1)^k (1/2+1/k)^k \equiv: \sum a_k$$
[/mm]
natürlich
[mm] $$\limsup \sqrt[k]{|a_k|}=\limsup [/mm] (1/2+1/k)=1/2 < 1$$
und damit
[mm] $$\sum a_k$$
[/mm]
absolut konvergent. Da absolut konvergente Reihen insbesondere konvergent sind (ich glaube, das gilt allg. in Banachräumen - aber in [mm] $\IR$ [/mm] ist das jedenfalls bekannt), folgt daraus, dass
[mm] $$\sum a_k$$
[/mm]
auch konvergiert.
Worauf Leduart wohl eher nur hinweisen wollte:
Diese Vorgehensweise klappt nicht immer so, während das Leibnizkriterium da manchmal schon mehr Aussagekraft besitzt.
Denn:
[mm] $$\sum (-1)^k [/mm] 1/k$$
ist eben nicht absolut konvergent, da
[mm] $$\sum [/mm] 1/k$$
nicht konvergiert (das Wurzelkriterium würde hier übrigens nicht helfen, da [mm] $\limsup \sqrt[k]{1/k}=1$ [/mm] ist).
Aber nach Leibniz ist sofort klar, dass
[mm] $$\sum (-1)^k [/mm] 1/k$$
konvergiert.
Von daher wollte man Dich wohl nur drauf hinweisen:
Bei "alternierendem Vorzeichen" in einer Reihe solltest Du vll. erstmal gucken, ob Leibniz anwendbar ist. Falls Du dann nicht weiterkommst, dann das Wurzelkriterium (oder Quotientenkriterium oder oder oder...) versuchen.
Allerdings: Du hast oben schon richtig erkannt, dass die Reihe absolut konvergiert. Du brauchst dann aber auch das Wissen, dass daraus die Konvergenz der Reihe folgt. Wenn ihr das habt, dann schreib' das dazu und alles ist so in Ordnung!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Marcel |
> Ja aber war dann das durchgeführte Wurzelkriterium für
> umsonst? Ich mein es hat mir ja auch etwas geliefert??ABer
> ich muss dass mit betrag machen oder??
> [mm]lim_{k->\infty} \wurzel[k]{\red{|a_n|}}$= lim_{k->\infty} \wurzel[k]{|(-1)^k \cdot{} (1/2 +1/k)^k|}[/mm]
> $= [mm]lim_{k->\infty}$ \wurzel[k]{|(1/2 +1/k)^k|} =lim_{k->\infty}1/2[/mm]
> +1/k =1/2
>
> 1/2 < 1
> ->absolute Konvergenz
>
ersetze [mm] $\red{|a_n|}$ [/mm] durch [mm] $|a_\blue{k}|$!
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Ja ich soll einmal überprüfen ob sie konvergiert und ob
> > sie auch absolut konvergiert!
> >
> > ->Wurzelkriterium
> > also kann ich das nicht so machen wie im ersten Beitrag
> > vorgezeigt? Wie denn anders?
>
> Hallo!
>
> Bei alternierenden Reihen, die die Form [mm](-1)^k \cdot a_n[/mm]
> haben eignet sich das Leibnitz Kriterium.
verwende bitte nicht Indizes $k,n$ mit [mm] $k=n\,.$ [/mm] 
> Haben die Reihenglieder also die Form: [mm](-1)^k \cdot a_n[/mm] und
> [mm]
a_n[/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die
> Reihe.
Das gleiche:
[mm] $$(-1)^\blue{n}a_\blue{n}$$ [/mm]
oder
[mm] $$(-1)^\blue{k}a_\blue{k}$$
[/mm]
schreiben (je nach Summationsindex),aber nicht
[mm] $$(-1)^\red{k}a_\blue{n}\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja ich soll einmal überprüfen ob sie konvergiert und ob
> sie auch absolut konvergiert!
>
> ->Wurzelkriterium
> also kann ich das nicht so machen wie im ersten Beitrag
> vorgezeigt? Wie denn anders?
dann ist die Anwendung des Wurzelkriteriums hier sogar echt die bessere Vorgehensweise, da Du die Reihe sowohl auf Konvergenz als auch auf absolute Konvergenz untersuchen sollst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 12.12.2011 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank!!
Tschau
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