Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Meine Frage:
Wenn eine Reihe [mm] \summe_{K}^{inf}ak+bk [/mm] konvergiert, sind dann die Beträge der Folgen |ak| und |bk| identisch?
Ich würde das ja vermuten, da die Folge (sagen wir: ck mit ck = ak + bk), die in einer konvergierenden Reihe steht doch auf jeden Fall eine Nullfolge sein muss?
Danke für nützliche Tipps hierzu 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Meinst du [mm] \sum_{k=1}^\infty(a_k+b_k)? [/mm] Dann könnte man doch [mm] a_k:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=1,..,5\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] und [mm] b_k:=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=5,..,10\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] definieren, dann konvergiert die Summe und die Beträge der einzelnen Folgeglieder sind in k nicht identisch.
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Ja ich meinte das mit der Klammer drumherum. Wobei, ob das überhaupt einen Unterschied macht?
Und zu der Definition, das sehe ich ein, aber ich meinte ursprünglich auch nicht Beträge einzelner Folgeglieder, sondern die Beträge ihrer Grenzwerte. Hab das vergessen dazu zu schreiben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
Wenn ich richtig verstehe was du meinst, dann müsste das so gelten, denn.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+b_{k}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+ \limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}\overset{\text{Reihe Konvergent}}{=}0
[/mm]
Also auch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}=-\limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}
[/mm]
Sowie:
[mm] |\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}|=|-\limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}| \gdw |\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}|
[/mm]
Grüße Rubikon
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:54 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erste Frage:
> Hallo,
>
> Wenn ich richtig verstehe was du meinst, dann müsste das
> so gelten, denn.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+b_{k}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+ \limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}\overset{\text{Reihe Konvergent}}{=}0[/mm]
erstens: warum stehen da Folgengrenzwerte, und dann steht da etwas
von einer Reihe?
Zweitens: Aus der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] folgt die von der
Folge [mm] $(a_n+b_n)_n$ [/mm] - umgekehrt gilt das i.a. nicht, wie [mm] $a_n:=-n$ [/mm] und [mm] $b_n:=n$ [/mm] zeigen!
Drittens: Man betrachte mal
[mm] $$a_n:=1/n$$
[/mm]
und [mm] $b_n:=-\frac{1}{n+1}\,.$ [/mm] Beide Reihen [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$
[/mm]
divergieren, aber [mm] $\sum (a_n+b_n)$ [/mm] konvergiert (Beweis?).
(Edit: Drittens wurde passend geändert, denn das vorherige war
bzgl. der Frage eine nicht passende Antwort!)
Zur Notation: [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:14 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> erste Frage:
> > Hallo,
> >
> > Wenn ich richtig verstehe was du meinst, dann müsste das
> > so gelten, denn.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+b_{k}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+ \limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}\overset{\text{Reihe Konvergent}}{=}0[/mm]
>
> erstens: warum stehen da Folgengrenzwerte, und dann steht
> da etwas
> von einer Reihe?
Es wurde angenommen, dass die zugehörige Reihe über die Summe beider Folgen konvergent ist. Deshalb konvergiert die Summe gegen Null.
>
> Zweitens: Aus der Konvergenz von [mm](a_n)_n[/mm] und [mm](b_n)_n[/mm] folgt
> die von der
> Folge [mm](a_n+b_n)_n[/mm] - umgekehrt gilt das i.a. nicht, wie
> [mm]a_n:=-n[/mm] und [mm]b_n:=n[/mm] zeigen!
>
Ist natürlich richtig. Ich bin fälschlicherweise von der Konvergenz der beiden Folgen ausgegangen.
> Drittens: Man betrachte mal
> [mm]a_n:=1/n[/mm]
> und [mm]b_n:=-\frac{1}{n+1}\,.[/mm] Beide Reihen [mm]\sum a_n[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm]
>
> divergieren, aber [mm]\sum (a_n+b_n)[/mm] konvergiert (Beweis?).
>
Vielleicht verstehe ich die Frage auch nicht ganz. Das ist ebenso korrekt (Teleskopsumme). Aber ich sehe den Zusammenhang zur Frage nicht.
EDIT: Im zweiten Post von Simone war nur vom Betrag der Grenzwerte die Rede, nicht aber vom Betrag aller Folgenglieder.
> (Edit: Drittens wurde passend geändert, denn das vorherige
> war
> bzgl. der Frage eine nicht passende Antwort!)
>
> Zur Notation: [mm]\sum:=\sum_{n=1}^\infty\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Grüße Rubikon
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 00:30 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > erste Frage:
> > > Hallo,
> > >
> > > Wenn ich richtig verstehe was du meinst, dann müsste das
> > > so gelten, denn.
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+b_{k}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}+ \limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}\overset{\text{Reihe Konvergent}}{=}0[/mm]
>
> >
> > erstens: warum stehen da Folgengrenzwerte, und dann steht
> > da etwas
> > von einer Reihe?
>
> Es wurde angenommen, dass die zugehörige Reihe über die
> Summe beider Folgen konvergent ist. Deshalb konvergiert die
> Summe gegen Null.
ja, es ist [mm] $\lim_{k \to \infty} (a_k+b_k)=0\,$ [/mm] wegen der Konvergenz von [mm] $\sum (a_k+b_k)\,,$ [/mm]
aber keinesfalls kannst Du [mm] $\lim_{k \to \infty}(a_k+b_k)=\lim_{k \to \infty}a_k+\lim_{k \to \infty}b_k$
[/mm]
behaupten. Letzteres gilt nur, falls BEIDE GRENZWERTE RECHTERHAND existieren!
> >
> > Zweitens: Aus der Konvergenz von [mm](a_n)_n[/mm] und [mm](b_n)_n[/mm] folgt
> > die von der
> > Folge [mm](a_n+b_n)_n[/mm] - umgekehrt gilt das i.a. nicht, wie
> > [mm]a_n:=-n[/mm] und [mm]b_n:=n[/mm] zeigen!
> >
>
> Ist natürlich richtig. Ich bin fälschlicherweise von der
> Konvergenz der beiden Folgen ausgegangen.
Okay, das habe ich gerade nochmal geschrieben (s.o.)! ^^
> > Drittens: Man betrachte mal
> > [mm]a_n:=1/n[/mm]
> > und [mm]b_n:=-\frac{1}{n+1}\,.[/mm] Beide Reihen [mm]\sum a_n[/mm] und
> [mm]\sum b_n[/mm]
> >
> > divergieren, aber [mm]\sum (a_n+b_n)[/mm] konvergiert (Beweis?).
> >
>
> Vielleicht verstehe ich die Frage auch nicht ganz. Das ist
> ebenso korrekt (Teleskopsumme). Aber ich sehe den
> Zusammenhang zur Frage nicht.
>
> EDIT: Im zweiten Post von Simone war nur vom Betrag der
> Grenzwerte die Rede, nicht aber vom Betrag aller
> Folgenglieder.
Ah, okay. Ich weiß jetzt auch nicht mehr, was nun eigentlich die Frage bzgl.
der Beträge ist ^^ Vielleicht bin ich da einfach zu sehr verwirrt worden.
> > (Edit: Drittens wurde passend geändert, denn das
> vorherige
> > war
> > bzgl. der Frage eine nicht passende Antwort!)
> >
> > Zur Notation: [mm]\sum:=\sum_{n=1}^\infty\,.[/mm]
P.S. Du hast (bspw.) [mm] $\lim_{n \to \infty}a_\red{k}$ [/mm] geschrieben, aber [mm] $\lim_{n \to \infty}a_\blue{\text{n}}$
[/mm]
gemeint!
Edit: Wenn es um die Gleichheit
[mm] $$|\lim_{k \to \infty}a_k|=|\lim_{k \to \infty}b_k|$$
[/mm]
gilt, dann hast Du überall recht. Damit diese Gleichheit überhaupt einen
Sinn macht, braucht man ja sowohl die Existenz von [mm] $\lim_{k \to \infty}a_k$ [/mm] als auch
von [mm] $\lim_{k \to \infty}b_k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja ich meinte das mit der Klammer drumherum. Wobei, ob das
> überhaupt einen Unterschied macht?
> Und zu der Definition, das sehe ich ein, aber ich meinte
> ursprünglich auch nicht Beträge einzelner Folgeglieder,
> sondern die Beträge ihrer Grenzwerte. Hab das vergessen
> dazu zu schreiben.
okay, Du meinst also:
Wenn [mm] $\sum (a_k+b_k)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] existiert, dann gilt auch
[mm] $$|\lim_{k \to \infty} a_k|=|\lim_{k \to \infty} b_k|\,,$$
[/mm]
sofern denn die letzte Gleichung überhaupt sinnvoll ist. Damit sie aber
sinnvoll ist, müssen hier [mm] $\lim_{k \to \infty} a_k$ [/mm] und [mm] $\lim_{k \to \infty} b_k$ [/mm] existieren!
Sei [mm] $c_k:=a_k+b_k\,.$ [/mm] Wegen der Existenz von [mm] $\sum c_k$ [/mm] folgt [mm] $c_k \to 0\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k=\lim_{k \to \infty}c_k-\lim_{k \to \infty}b_k\,,$$
[/mm]
so dass wir sogar
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k=\;-\;\lim_{k \to \infty} b_k$$
[/mm]
folgern können - insbesondere gilt damit natürlich wegen [mm] $|-\;r|=|-1|*|r|=|r|$ [/mm] die behauptete Gleichheit
[mm] $$|\lim_{k \to \infty} a_k|=|\lim_{k \to \infty} b_k|\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja ich meinte das mit der Klammer drumherum. Wobei, ob das
> überhaupt einen Unterschied macht?
es ist eher didaktischer Natur, bzw. sollte für mehr Klarheit sorgen, wenn man
die Klammern setzt.
Hier ist klar, dass mit
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k+b_k$$
[/mm]
halt
[mm] $$\lim_{k \to \infty} (a_k+b_k)$$
[/mm]
nur gemeint sein kann.
Wenn ich aber
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k+1$$
[/mm]
schreiben würde, und eigentlich nach der Existenz bzw. dem Wert von
[mm] $$\lim_{k \to \infty} (a_k+1)$$
[/mm]
fragen wollte, so würde das nicht zusammenpassen:
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k+1$$
[/mm]
ist zu lesen als
[mm] $$(\lim_{k \to \infty} a_k)+1\,.$$
[/mm]
Hier kann man eigentlich immer sowas sagen, wie, dass die Klammer direkt
nach dem "lim" beginnt, und dort aufhören soll, wo zum letzten Mal der
Index (der unter dem "lim") (auf einer Seite der Gleichung) auftaucht:
[mm] $$\lim_{k \to \infty} a_k+2+b_k$$
[/mm]
ist also als
[mm] $$\lim_{k \to \infty} (a_k+2+b_k)$$
[/mm]
zu verstehen. Analog schreibt man bei Integralen auch
[mm] $$\int [/mm] f(x)+g(x)dx$$
und will damit andeuten, wo die Klammern zu stehen haben. "Eigentlich" sollte
man das hier nicht so tun, sondern müßte es korrekt
[mm] $$\int [/mm] (f(x)+g(x))dx$$
schreiben (Fred hat das mal irgendwann begründet, bzw. auch Leduart; das
hat mit der ursprünglichen Interpretation des Integrals zu tun - und dass
man ja auch nicht $2+3*x$ schreibt, wenn man $(2+3)*x$ meint - vielleicht
sagt einer von denen das nochmal genauer).
Von daher: Hier lieber ein paar Klammern zuviel setzen, und formal auf der
sicheren Seite sein!
Gruß,
Marcel
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Hiho,
die Antwort von Rubikon ist zwar nett, beinhaltet aber einen Fehler:
Niemand sagt, dass [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] überhaupt für sich konvergieren müssen!
Nur weil [mm] (a_k [/mm] + [mm] b_k) [/mm] konvergiert, muss das für [mm] a_k [/mm] oder [mm] b_k [/mm] gar nicht gelten.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Meine Frage:
>
> Wenn eine Reihe [mm]\summe_{K}^{inf}ak+bk[/mm] konvergiert, sind
> dann die Beträge der Folgen |ak| und |bk| identisch?
>
> Ich würde das ja vermuten, da die Folge (sagen wir: ck mit
> ck = ak + bk), die in einer konvergierenden Reihe steht
> doch auf jeden Fall eine Nullfolge sein muss?
Du wirst folgern können, dass [mm] $a_k+b_k \to 0\,.$ [/mm] Deine obige Annahme, dass
die beiden Folgen betragsmäßig übereinstimmen (in dem Sinne, dass
[mm] $|a_n|=|b_n|$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt), wird schon durch
[mm] $$a_n:=1/n$$
[/mm]
und
[mm] $$b_n:=-\frac{1}{n+1}$$ [/mm]
widerlegt:
Beide Reihen [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] divergieren, aber [mm] $\sum (a_n+b_n)$ [/mm] konvergiert (Beweis?).
Zudem gilt sicher stets [mm] $|a_n|\not= |b_n|$ [/mm] wegen $1/n [mm] \not=1/(n+1)\,.$
[/mm]
Zur Notation: [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty\,.$
[/mm]
P.S.
Alternativ kannst Du auch sowas machen: Wählen wir bspw. mal die Folge
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=n\,.$ [/mm] Wähle eine reelle Folge [mm] $(c_n)_n$ [/mm] so, dass unendlich viele [mm] $c_n \not=0$ [/mm]
sind und dass [mm] $\sum c_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert - bspw. [mm] $c_n:=1/n^2$ [/mm] tut's. (Hier sind ja
nicht nur unendlich viele [mm] $c_n \not=0\,,$ [/mm] sondern sogar alle [mm] $c_n\,.$) [/mm]
Dann setze [mm] $b_n:=c_n-a_n\,.$ [/mm] Mit Sicherheit ist [mm] $\sum (a_n+b_n)$ [/mm] konvergent,
denn [mm] $\sum c_n$ [/mm] konvergiert und es ist ja [mm] $a_n+b_n=c_n\,.$ [/mm] Oben gilt aber
etwa
[mm] $|a_n|=a_n=n$ [/mm] und [mm] $|b_n|=|c_n-a_n|=n-\frac{1}{n^2}=\frac{n^3-1}{n^2} \not=n\,.$ [/mm] (Wäre [mm] $(n^3-1)/n^2=n\,$ [/mm] auch nur für ein $n [mm] \in \IN\,,$
[/mm]
so folgt für dieses [mm] $n^3-1=n^3$ [/mm] und damit der Widerspruch [mm] $-1=0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Meine Frage:
>
> Wenn eine Reihe [mm]\summe_{K}^{inf}ak+bk[/mm] konvergiert, sind
> dann die Beträge der Folgen |ak| und |bk| identisch?
Unsinn ! Nehmen wir [mm] a_k=0 [/mm] und [mm] b_k= \bruch{1}{k^2} [/mm] für alle k
FRED
>
> Ich würde das ja vermuten, da die Folge (sagen wir: ck mit
> ck = ak + bk), die in einer konvergierenden Reihe steht
> doch auf jeden Fall eine Nullfolge sein muss?
>
> Danke für nützliche Tipps hierzu
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Unsinn ! Nehmen wir [mm]a_k=0[/mm] und [mm]b_k= \bruch{1}{k^2}[/mm] für alle k
Ja Danke, ich hab alles durchgerechnet und sehe das jetzt auch ein. Also wenn [mm]a_k[/mm] konvergiert, dann gilt [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}|, [/mm] aber nicht zwangsläufig |[mm]a_k[/mm]| = |[mm]b_k[/mm]|, es sei denn |[mm]a_k[/mm]| und |[mm]b_k[/mm]| wären BEIDE konstante Folgen.
Genauso denkbar wäre eine konvergente Reihe [mm] \summe_{K}^{inf}=([/mm] [mm]a_k[/mm] + [mm]b_k[/mm] ) aber auch mit je divergierenden [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm]; dann ist die Annahme von identischen Grenzen in der Tat Blödsinn!
Vielen Dank für eure HIlfen !
Simone
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Unsinn ! Nehmen wir [mm]a_k=0[/mm] und [mm]b_k= \bruch{1}{k^2}[/mm] für alle
> k
>
>
>
> Ja Danke, ich hab alles durchgerechnet und sehe das jetzt
> auch ein. Also wenn [mm]a_k[/mm] konvergiert,
Du brauchst ZUSÄTZLICH die Konvergenz von (der Folge) [mm] $(b_k)_k\,.$ [/mm] Nebenbei: Auch,
wenn das oft so geschrieben wird: [mm] "$a_k$ [/mm] konvergiert...", so ist damit doch
gemeint,dass [mm] "$(a_k)_k$ [/mm] konvergiert." Wenn man penibel ist, steht in [mm] "$a_k$ [/mm] konvergiert"
eigentlich die Aussage, dass das [mm] $k\,$-te [/mm] Folgenglied der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert
- was eine "blöde" Aussage ist. (Was könnte man damit meinen? Dass mit [mm] $a_n:=1/n^2$ [/mm] etwa
[mm] $a_5=1/25$ [/mm] konvergiert, lese ich dann so, dass [mm] $(1/25)_n$ [/mm] eine konvergente
Folge ist - das ist in der Tat so, da konstante Folgen gegen ihren
(konstanten) Wert konvergieren!)
> dann gilt
> [mm]|\limes_{n\rightarrow\infty} a_{k}|=|\limes_{n\rightarrow\infty}b_{k}|,[/mm]
> aber nicht zwangsläufig |[mm]a_k[/mm]| = |[mm]b_k[/mm]|, es sei denn |[mm]a_k[/mm]|
> und |[mm]b_k[/mm]| wären BEIDE konstante Folgen.
Wieso sollten die konstant sein? Mit [mm] $a_n=-b_n=\tfrac{1}{n}$ [/mm] sind die alles andere als
konstant - ebenso kannst Du [mm] $a_n=-b_n=\tfrac{1}{n^2}$ [/mm] nehmen oder
oder oder... (kompliziertere Beispiele will ich hier gar nicht basteln).
> Genauso denkbar wäre eine konvergente Reihe
> [mm]\summe_{K}^{inf}=([/mm] [mm]a_k[/mm] + [mm]b_k[/mm] ) aber auch mit je
> divergierenden [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm]; dann ist die Annahme von
> identischen Grenzen in der Tat Blödsinn!
Na, wenn Grenzwerte nicht existieren, kann man auch ihre Beträge nicht
vergleichen. (Wenn [mm] $(a_k)_k$ [/mm] konvergiert, aber [mm] $(b_k)_k$ [/mm] dies nicht tut, so
kann ich zwar [mm] $|\lim a_k|$ [/mm] bilden, aber wie soll ich den mit [mm] $|\lim b_k|$ [/mm] vergleichen,
wenn letztgenannter gar nicht existiert?) Deswegen sagte ich ja:
Damit die Gleichheit
[mm] $$|\lim a_k|=|\lim b_k|$$
[/mm]
überhaupt einen Sinn machen kann, brauchst Du hier die Existenz von SOWOHL [mm] $\lim a_k$ [/mm]
ALS AUCH [mm] $\lim b_k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ähm; durchaus erhellend, aber da die Reihe (lt. Fragestellung schon) konvergiert, ist doch IMPLIZIT, dass auch [mm](b_k)_k[/mm] konvergiert, wenn [mm](a_k)_k[/mm] konvergiert, oder nicht?
Grüße, Simone
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ähm; durchaus erhellend, aber da die Reihe (lt.
> Fragestellung schon) konvergiert, ist doch IMPLIZIT, dass
> auch [mm](b_k)_k[/mm] konvergiert, wenn [mm](a_k)_k[/mm] konvergiert, oder
> nicht?
joa, schau'n wir uns das nochmal an:
Wenn [mm] $\sum_k (a_k+b_k)$ [/mm] konvergiert (daran hatte ich halt schon gar nicht mehr
gedacht, dass das bei Dir eine Voraussetzung war), dann gilt
[mm] $$a_k+b_k \to 0\,.$$
[/mm]
Wenn [mm] $a_k \to a\,,$ [/mm] so folgt natürlich
[mm] $$b_k=(a_k+b_k)-a_k \;\;\;\to\;\;\; 0-a=\;-\;a\,.$$ [/mm]
Wenn Du das so meintest, hast Du natürlich Recht. (Das heißt, Du wolltest
nochmal an alle Dir gegebenen Voraussetzungen erinnern und die
Konsequenzen, die sich aus diesen Voraussetzungen ergeben.)
Ohne das alles, also wenn man nur mal irgendzwei Folgen [mm] $(a_k)_k$ [/mm] und [mm] $(b_k)_k$
[/mm]
gegeben hat (über deren Konvergenzverhalten man (noch) nichts weiß),
und wenn man für diese dann gucken soll, ob
[mm] $$|\lim a_k|=|\lim b_k|$$
[/mm]
gilt, macht der "Test der letzten Gleichheit" nur Sinn, wenn die beiden Folgen
auch konvergent sind. Das meinte ich.
In Deinem Falle hast Du recht: Unter den gegebenen Voraussetzungen
kannst Du dort sogar sagen, dass [mm] $(a_k)_k$ [/mm] GENAU DANN konvergiert,
wenn [mm] $(b_k)_k\,$ [/mm] es tut. Und im Falle einer (und damit auch beider) Folgen
gilt, dass der eine Grenzwert das [mm] $-1\,$-Fache [/mm] des anderen ist. (Man kann
auch sagen, dass sie additiv invers zueinander sind. Oder es gibt auch noch
andere mögliche Sprechweisen...)
Gruß,
Marcel
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