Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die folgende Reihe konvergent?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!*(2n)!}{(3n)!} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich hoffe mal, Ihr könnt mir hier ein wenig weiterhelfen, da ich überhaupt gar nicht richtig weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Ich habe es schon mit dem Quotientenkriterium versucht, aber das wende ich anscheinend falsch an, oder danach ist eine 0 in der Lösung richtig, was ich bezweifle...
Gruß
GS
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und wurde bis jetzt in keinem Forum fündig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Ist die folgende Reihe konvergent?
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!*(2n)!}{(3n)!}[/mm]
> Hallo
> zusammen!
>
> Ich hoffe mal, Ihr könnt mir hier ein wenig weiterhelfen,
> da ich überhaupt gar nicht richtig weiß, wie ich an diese
> Aufgabe rangehen soll.
> Ich habe es schon mit dem Quotientenkriterium versucht,
In der Aufgabe steht nur, dass du auf Konvergenz überprüfen sollst. Du willst sofort auf absolute Konvergenz überprüfen. Gilt denn überhaupt das notwendige Kriterium der Konvergenz? Ist [mm] \bruch{n!\cdot(2n)!}{(3n)!} [/mm] eine Nullfolge? Für das Quotientenkriterium betrachte:
Setze [mm] a_n:=\bruch{n!\cdot(2n)!}{(3n)!}.
[/mm]
Rechne zunächst [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] aus.
> aber das wende ich anscheinend falsch an, oder danach ist
> eine 0 in der Lösung richtig, was ich bezweifle...
>
Was meinst du damit?
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=|\bruch{(n+1)!\cdot(2(n+1))!\cdot(3n)!}{(3(n+1))! \cdot n!\cdot(2n)!}|=
[/mm]
Nun du!
Tipp: [mm] (n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n\cdot(n+1)=n!\cdot(n+1)
[/mm]
Wende das entsprechend auch bei den anderen Fakultäten an und kürze.
Betrachte dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|.
[/mm]
>
> Gruß
> GS
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt und wurde bis jetzt in keinem Forum
> fündig.
Gruß
DieAcht
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Hallo und vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!
Ich bin jetzt bei [mm] \bruch{(2n*(n+1))!*(3n)!}{6n!*(2n)!} [/mm] angekommen.
Wenn das soweit richtig ist, wie müsste ich dann weiter vorgehen?
Muss ich dann einfach n gegen Unendlich [mm] n\rightarrow\infty [/mm] laufen lassen?
Gruß
GS
Edit:
Sehe gerade, dass das jetzt eine Mitteilung ist, sollte eigentlich eine Frage sein, komme nur noch nicht so ganz mit dem Forum klar.. Bitte um Verständnis..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 23.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast Tippfehler oder ein falsches Ergebnis. schreibe alle Fakultäten so, dass etwa
(3*(n+1))!=(3n+3)!=(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3) usw
dann alles was geht kürzen. hier dann das (3n)! in Z und N
so wie es dasteht, siehst du ja nicht, was bei n gegen unendlich passiert.
Gruss leduart
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Ok, habe mich definitiv verrechnet, da mir die Regeln bei der Multiplikation von Fakultäten nicht wirklich bewusst waren..
komme jetzt auf [mm] \bruch{2n^2+3n+1}{(27n^3+54n^2+33n+6)*n!} [/mm] und das läuft gegen 0 bei [mm] n\rightarrow\infty.
[/mm]
Das dürfte doch soweit in Ordnung sein, oder?
Gruß
GS
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ok, habe mich definitiv verrechnet, da mir die Regeln bei
> der Multiplikation von Fakultäten nicht wirklich bewusst
> waren..
>
> komme jetzt auf [mm]\bruch{2n^2+3n+1}{(27n^3+54n^2+33n+6)*n!}[/mm]
Das ist falsch. Mach dir klar wieso du (und vorallem wie du) die Fakultäten kürzen kannst an einfachen Beispielen.
Zum Beispiel: [mm] \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} [/mm] (nachrechnen!)
Schreib lieber die einzelnen Schritte auf!
> und das läuft gegen 0 bei [mm]n\rightarrow\infty.[/mm]
>
> Das dürfte doch soweit in Ordnung sein, oder?
>
>
> Gruß
> GS
Gruß
DieAcht
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Habe das so berechnet:
[mm] \bruch{(n+1)!*(2*(n+1))!*(3n)!}{(3*(n+1))!*n!*(2n)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!*(2n)!+(2n+1)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!*(2n+1)}{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!}
[/mm]
= [mm] \bruch{2n^2+3n+1}{(27n^3+54n^2+33n+6)*n!}
[/mm]
Findet jemand meine/n Fehler?
Gruß
GS
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Habe das so berechnet:
>
> [mm]\bruch{(n+1)!*(2*(n+1))!*(3n)!}{(3*(n+1))!*n!*(2n)!}[/mm]
>
>
> =
> [mm]\bruch{(n+1)!*(2n)!+(2n+1)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}[/mm]
Das ist bereits falsch!
Rechne bitte die einzigen Terme aus!
Den Tipp von leduart hast du zwar für [mm] (3\cdot(n+1))! [/mm] richtig übernommen, aber das musst du nun verstehen und bei den anderen Termen umsetzen!
Du hast nun: [mm] (3\cdot(n+1))!=(3n)!(3n+1)(3n+2)(3n+3).
[/mm]
Rechne nun weiter:
[mm] (2\cdot(n+1))!=?
[/mm]
[mm] \frac{(n+1)!}{n!}=?
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(n+1)!*(2n+1)}{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2n^2+3n+1}{(27n^3+54n^2+33n+6)*n!}[/mm]
>
>
> Findet jemand meine/n Fehler?
>
>
> Gruß
> GS
Gruß
DieAcht
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Dann auf ein Neues..
Bekomme bei meinem nächsten Versuch [mm] \bruch{n^3+3n^2+4n+2}{27n^3+54n^2+33n+6} [/mm] raus...
Würde sich dann bei [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0.037 annähern.
Gruß
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Sa 23.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Dann auf ein Neues..
>
> Bekomme bei meinem nächsten Versuch
> [mm]\bruch{n^3+3n^2+4n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}[/mm] raus...
>
> Würde sich dann bei [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0.037
> annähern.
Nein.
Die Herleitung des Terms habe ich nicht nachgerechnet, aber es würde definitiv nicht gegen 0,037 gehen. Für diese Zahl lässt sich eine Epsilon-Umgebung angeben, in der KEIN EINZIGES Folgenglied liegt (und es sollten doch eigentlich unendlich viele sein).
Gruß Abakus
>
>
> Gruß
> GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Dann auf ein Neues..
>
> Bekomme bei meinem nächsten Versuch
> [mm]\bruch{n^3+3n^2+4n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}[/mm] raus...
Falsch, rechne wieder vor!
>
> Würde sich dann bei [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0.037
> annähern.
Falsch, siehe akabus!
>
>
> Gruß
> GS
Gruß
DieAcht
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So, den nächsten Fehler habe ich diesmal sogar alleine gefunden...
Auf ein Neues:
= [mm] \bruch{(n+1)!*(2n)!+(2n+1)*(2n+2)+(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!*(4n^2+4n+2n+2)}{(27n^3+54n^2+33n+6*n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6} [/mm] =0,148 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> So, den nächsten Fehler habe ich diesmal sogar alleine
> gefunden...
>
> Auf ein Neues:
>
> =
> [mm]\bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)*(2n+2)+(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}[/mm]
Falsch! Das sind keine Summen, sondern Produkte und zwar alle!
Es muss heißen:
[mm] \bruch{(n+1)!*(2*(n+1))!*(3n)!}{(3*(n+1))!*n!*(2n)!}=\bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}
[/mm]
Jetzt du!
1. Schreib alles aus!
2. Kürze
3. Bestimme den Grenzwert für $n$ gegen [mm] \infty
[/mm]
4. Interpretation deines Ergebnis!
>
> [mm]=\bruch{(n+1)!*(4n^2+4n+2n+2)}{(27n^3+54n^2+33n+6*n!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}[/mm] =0,148 für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
>
>
> Gruß
> GS
Gruß
DieAcht
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Aber haben wir nicht genau das Gleiche ausgerechnet?
Ich sehe zwischen deinem und meinem ersten Schritt keinen Unterschied.
MfG
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
[mm] \bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)*(2n+2)+(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}\not=\bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!} [/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo DieAcht,
es ist gut möglich, dass ich den Unterschied in der Ungleichung übersehe. Wo befindet er sich? Für mich sehen die beiden Seiten genau gleich aus.
Gruß
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Bei der einen Gleichung ist im Zähler ein Pluszeichen. Das gehört dort nicht hin. Wir haben nur Produkte, deshalb lässt sich das auch schön kürzen!
Es muss $(2n+2)*(3n)!$ anstatt $(2n+2)+(3n)!$ stehen!
Gruß
DieAcht
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Mist, da ist mir wohl ein Fehler beim Abtippen unterlaufen.
Auf meinem Blatt Papier habe ich es jedoch mit (2n+2)*(3n)! gerechnet.
MfG
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Mist, da ist mir wohl ein Fehler beim Abtippen
> unterlaufen.
> Auf meinem Blatt Papier habe ich es jedoch mit
> (2n+2)*(3n)! gerechnet.
>
>
> MfG
> GS
Gut, dann führ weiter aus was ich dir geschrieben habe..
Gruß
DieAcht
edit: Hier -> https://vorhilfe.de/read?i=992656
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= [mm] \bruch{(n+1)!*(2n)!+(2n+1)*(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!} [/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)(3n+2)(3n+3)*n!*(2n)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)!*(4n^2+4n+2n+2)}{27n^3+54n^2+33n+6*n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n!*(n+1)*(4n^2+4n+2n+2)}{27n^3+54n^2+33n+6*n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{4n^3+4n^2+2n^2+2n+4n^2+4n+2n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}
[/mm]
[mm] =\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}
[/mm]
=0,148 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Somit ist die Reihe konvergent.
Gruß
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> =
> [mm]\bruch{(n+1)!*(2n)!+(2n+1)*(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n!*(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)!*(2n)!*(2n+1)(2n+2)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)(3n+2)(3n+3)*n!*(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+1)!*(4n^2+4n+2n+2)}{27n^3+54n^2+33n+6*n!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n!*(n+1)*(4n^2+4n+2n+2)}{27n^3+54n^2+33n+6*n!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4n^3+4n^2+2n^2+2n+4n^2+4n+2n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}[/mm]
Super!
>
> =0,148 für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
>
Falsch! Ich weiß, was du damit sagen willst, aber so ist es nicht richtig!
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}
[/mm]
Klammere nun [mm] $n^3$ [/mm] im Zähler und im Nenner aus. Was gilt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] mit den Grenzwertsätzen?
> Somit ist die Reihe konvergent.
Nicht direkt, denk hier nochmal nach..
>
>
> Gruß
> GS
Gruß
DieAcht
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Hallo DieAcht,
[mm] =\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*(4n^2+10n+8)+2}{n*(27n^2+54n+33)+6}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{n*(4n^2+10n+8)+2}{n*(27n^2+54n+33)+6}| [/mm] =0,148 v -0,148
Somit ist die Reihe divergent.
MfG
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
klammere [mm] $n^3§ [/mm] aus!
Dann kommst du auch auf [mm] \approx [/mm] 0,148 für $n$ gegen [mm] \infty [/mm] !
Deine Argumentation ist leider noch immer falsch.
Wenn du [mm] $n^3§ [/mm] ausklammerst folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\frac{4}{27}<1
[/mm]
Was folgt daraus genau?
Gruß
DieAcht
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Hallo DieAcht,
leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und bekomme [mm] n^3 [/mm] nicht ausgeklammert.
Wie sieht die Rechnung dazu aus?
MfG
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 24.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo DieAcht,
>
> leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und bekomme
> [mm]n^3[/mm] nicht ausgeklammert.
> Wie sieht die Rechnung dazu aus?
>
> MfG
> GS
Hallo GoldenSloop,
auch wenn es im konkreten Zusammenhang unerheblich ist, wie groß der Grenzwert KONKRET ist (Hauptsache etwas kleiner als 1), ist es grundsätzlich falsch, statt 4/27 irgendeinen gerundeten Dezimalwert als Pseudo-Grenzwert zu nennen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}=\frac{n^3(4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3})}{n^3(27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3})}=\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}
[/mm]
Mit den Grenzwertsätzen gilt nun: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}=\frac{4}{27}
[/mm]
und somit gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1
[/mm]
Was folgt nun genau aus dem Quotientenkriterium?
Gruß
DieAcht
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Hallo,
vielen Dank für die Herleitung!
Somit folgt aus dem Quotientenkriterium, dass die Reihe konvergent ist.
Gruß
GS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Herleitung!
>
> Somit folgt aus dem Quotientenkriterium, dass die Reihe
> konvergent ist.
Nicht direkt. Laut Aufgabenstellung sollst du eigentlich "nur" die Konvergenz zeigen. Aus dem Quotientenkriterium folgt die Absolute Konvergenz und daraus die Konvergenz :)
Damit sind wir dann fertig, aber Achtung:
Aus Konvergenz folgt nicht Absolute Konvergenz!
Gruß
DieAcht
>
> Gruß
> GS
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Okay, vielen, vielen Dank für die Hilfe!
MfG
GS
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hallo,
>
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}=\frac{n^3(4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3})}{n^3(27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3})}=\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}[/mm]
>
> Mit den Grenzwertsätzen gilt nun:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}=\frac{4}{27}[/mm]
>
> und somit gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1[/mm]
>
> Was folgt nun genau aus dem Quotientenkriterium?
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo,
darf man das Ganze nicht nur machen, wenn man weiß das [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] konvergiert?
Übersehe ich was oder irre ich mich?
Gruß
Ebri
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> >
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{4n^3+10n^2+8n+2}{27n^3+54n^2+33n+6}=\frac{n^3(4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3})}{n^3(27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3})}=\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}[/mm]
> >
> > Mit den Grenzwertsätzen gilt nun:
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{27+\frac{54}{n}+\frac{33}{n^2}+\frac{6}{n^3}}=\frac{4}{27}[/mm]
> >
> > und somit gilt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1[/mm]
> >
> > Was folgt nun genau aus dem Quotientenkriterium?
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
> Hallo,
>
> darf man das Ganze nicht nur machen, wenn man weiß das
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] konvergiert?
> Übersehe ich was oder irre ich mich?
Ich hab keine Ahnung wie allgemein Ihr das Quotientenkriterium formuliert habt. Jedenfalls gilt, wenn alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 sind:
ist [mm] \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, [/mm] so ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergent,
ist [mm] \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1, [/mm] so ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergent.
FRED
>
> Gruß
> Ebri
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Ich hab keine Ahnung wie allgemein Ihr das
> Quotientenkriterium formuliert habt. Jedenfalls gilt, wenn
> alle [mm]a_n \ne[/mm] 0 sind:
>
>
>
> ist [mm]\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1,[/mm]
> so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> konvergent,
>
> ist [mm]\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,[/mm]
> so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] divergent.
>
>
>
> FRED
Soweit ist alles klar. Man möchte also zeigen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] < 1.
Muss man dafür nicht zuerst zeigen das [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] konvergiert, also ein Grenzwert besitzt und kann diesen dann wie es hier gemacht wurde ausrechnen.
Oder reicht es in [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] die Folge einzusetzen und auszurechnen?
Ebri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Ich hab keine Ahnung wie allgemein Ihr das
> > Quotientenkriterium formuliert habt. Jedenfalls gilt, wenn
> > alle [mm]a_n \ne[/mm] 0 sind:
> >
> >
> >
> > ist [mm]\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1,[/mm]
> > so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> > konvergent,
> >
> > ist [mm]\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,[/mm]
> > so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] divergent.
> >
> >
> >
> > FRED
>
> Soweit ist alles klar. Man möchte also zeigen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] < 1.
>
> Muss man dafür nicht zuerst zeigen das
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] konvergiert, also ein Grenzwert
> besitzt und kann diesen dann wie es hier gemacht wurde
> ausrechnen.
>
> Oder reicht es in
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] die Folge
> einzusetzen und auszurechnen?
Den Grenzwert solltest Du schon berechnen !!
FRED
>
> Ebri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> > > Ich hab keine Ahnung wie allgemein Ihr das
> > > Quotientenkriterium formuliert habt. Jedenfalls gilt, wenn
> > > alle [mm]a_n \ne[/mm] 0 sind:
> > >
> > >
> > >
> > > ist [mm]\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1,[/mm]
> > > so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> > > konvergent,
> > >
> > > ist [mm]\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,[/mm]
> > > so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] divergent.
> > >
> > >
> > >
> > > FRED
> >
> > Soweit ist alles klar. Man möchte also zeigen
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] < 1.
> >
> > Muss man dafür nicht zuerst zeigen das
> > [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] konvergiert, also ein Grenzwert
> > besitzt und kann diesen dann wie es hier gemacht wurde
> > ausrechnen.
> >
> > Oder reicht es in
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] die Folge
> > einzusetzen und auszurechnen?
>
> Den Grenzwert solltest Du schon berechnen !!
>
> FRED
> >
> > Ebri
Ja natürlich. Mir geht es darum, ob man den Grenzwert so ausrechnen darf ohne zu wissen das die Folge konvergiert.
Ebri
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Hallo Ebri!
> Ja natürlich. Mir geht es darum, ob man den Grenzwert so
> ausrechnen darf ohne zu wissen das die Folge konvergiert.
Zunächst geht es ja letztendlich um die Konvergenz der Reihe.
Das heißt, die (aufzusummierende) Folge sollte auf jeden Fall konvergieren, damit die weitere Untersuchung der Reihenkonvergenz überhaupt Sinn macht: [mm] $a_n$ [/mm] muss eine Nullfolge sein.
Aber da es bei der Untersuchung des Ausdruckes [mm] $\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] um die Bestimmung der Reihenkonvergenz geht, muss das Ergebnis im Vorfeld noch nicht bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hallo Ebri!
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> > Ja natürlich. Mir geht es darum, ob man den Grenzwert so
> > ausrechnen darf ohne zu wissen das die Folge konvergiert.
>
> Zunächst geht es ja letztendlich um die Konvergenz der
> Reihe.
>
> Das heißt, die (aufzusummierende) Folge sollte auf jeden
> Fall konvergieren, damit die weitere Untersuchung der
> Reihenkonvergenz überhaupt Sinn macht: [mm]a_n[/mm] muss eine
> Nullfolge sein.
>
> Aber da es bei der Untersuchung des Ausdruckes
> [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] um die Bestimmung der
> Reihenkonvergenz geht, muss das Ergebnis im Vorfeld noch
> nicht bekannt sein.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Hallo! Danke für eure Antworten. Sorry das ich euch noch weiter nerve :)
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
[mm] (b_{n})_{n} [/mm] ist doch eine Folge und von dieser möchten wir zeigen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] < 1
Ich habe gedacht man muss zuerst zeigen, dass [mm] b_{n} [/mm] konvergiert und kann den Grenzwert dann bestimmen.
Oder ist es wie du geschrieben hast, bei der Untersuchung einer Reihe völlig egal?
Gruß
Ebri
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Hallo Ebri,
manchmal gibt es doch so Werbesprüche a la 'Wir haben das Auto ganz neu erfunden' oder andere sinnhafte Erfindungen.
In der Mathematik versucht man, alles nur einmal 'zu erfinden'. Das funktioniert auch deshalb, weil jede 'Erfindung', also jeder Satz, bewiesen ist für alle Zeit.
Insofern kann man deine Frage so beantworten: wenn du dich mit Reihenkonvergenz und dem Quotientenkriterium befasst, dann stehen dir zu diesem Zeitpunkt schon so einige Konvergenzkriterien und -sätze zur Verfügung. Auf die darf man eben dann zurückgreifen, ohne dass man jedesmal die Mathematik neu erfinden muss. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hallo Ebri,
>
> manchmal gibt es doch so Werbesprüche a la 'Wir haben das
> Auto ganz neu erfunden' oder andere sinnhafte Erfindungen.
>
> In der Mathematik versucht man, alles nur einmal 'zu
> erfinden'. Das funktioniert auch deshalb, weil jede
> 'Erfindung', also jeder Satz, bewiesen ist für alle Zeit.
>
> Insofern kann man deine Frage so beantworten: wenn du dich
> mit Reihenkonvergenz und dem Quotientenkriterium befasst,
> dann stehen dir zu diesem Zeitpunkt schon so einige
> Konvergenzkriterien und -sätze zur Verfügung. Auf die
> darf man eben dann zurückgreifen, ohne dass man jedesmal
> die Mathematik neu erfinden muss.
>
> Gruß, Diophant
Hey!
Okay, ich denke mal wieder zu kompliziert. Ich sollte meine Analysis Kenntnisse etwas auffrischen, aber deswegen bin ich unter anderem hier. Danke!
Gruß
Ebri
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 25.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Ich hab keine Ahnung wie allgemein Ihr das
> Quotientenkriterium formuliert habt. Jedenfalls gilt, wenn
> alle [mm]a_n \ne[/mm] 0 sind:
Für fast alle [mm] n\in\IN [/mm] ;)
>
>
>
> ist [mm]\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1,[/mm]
> so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> konvergent,
>
> ist [mm]\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,[/mm]
> so ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] divergent.
>
>
>
> FRED
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Wenn man in [mm] \bruch{n!\cdot{}(2n)!}{(3n)!} [/mm] ausgiebig kürzt, bekommt man:
[mm] \bruch{n!\cdot{}(2n)!}{(3n)!}=\produkt_{k=1}^{n}\bruch{k}{2n+k}
[/mm]
Für k [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] ist
[mm] \bruch{k}{2n+k} \le \bruch{1}{3},
[/mm]
somit ist
$ 0 [mm] \le \bruch{n!\cdot{}(2n)!}{(3n)!} \le \bruch{1}{3^n}$
[/mm]
FRED
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