Konvergenz einer reellen Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 22.06.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Es soll folgende Zahlenfolge auf Konvergenz geprüft werden:
[mm] an=\wurzel{n^{2}+5n+1}-1 [/mm] |
Die Lösung ist mir zwar bekannt, ich weiß aber nicht so recht, wie ich drauf komme. Die Lösung lautet [mm] lim\to\infty=5/2, [/mm] konv.
Mein bisheriger Ansatz:
Umformung: Erweitert zum Binom
[mm] \underline{(n^{2}+5n+1)-n^{2}}
[/mm]
an= [mm] \wurzel{n^{2}+5n+1}+n
[/mm]
Ok,wie komme ich jetzt weiter zu meinem Grenzwert 5/2?
Wenn ich den Ansatz wähle, durch höchste Nennerpotenz (hier also [mm] n^{2}) [/mm] zu teilen, erhalte ich doch:
[mm] \underline{1+5/n+1/n^{2}-1}
[/mm]
[mm] an=\wurzel{1+5/n+1/n^{2}}+1/n
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo RalU!
> Mein bisheriger Ansatz:
> Umformung: Erweitert zum Binom
>
> [mm]\underline{(n^{2}+5n+1)-n^{2}}[/mm]
> an= [mm]\wurzel{n^{2}+5n+1}+n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut ... nun fasse doch zunächst im Zähler zusammen, dann fällt das [mm] $n^2$ [/mm] raus.
Und anschließend in Zähler und Nenner $n_$ ausklammern sowie kürzen:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5n-1}{\wurzel{n^2+5n+1}+n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5n-1}{\wurzel{n^2*\left(1+\bruch{5}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)}+n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5n-1}{\wurzel{n^2}*\wurzel{1+\bruch{5}{n}+\bruch{1}{n^2}}+n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*\left(5-\bruch{1}{n}\right)}{n*\left( \ \wurzel{1+\bruch{5}{n}+\bruch{1}{n^2}}+1 \ \right)} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 22.06.2006 | | Autor: | RalU |
ok, mit den genannten Umwandlungen komme ich zum gewünschten Ergebnis [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=5/2
[/mm]
Vielen Dank für die Hinweise!
Jetzt aber mal eine grundsätzliche Frage:
Ich weiß ja, dass was falsches rauskommt, wenn ich z.B. überhaupt nichts umforme und gleich die Grenzwerte so bestimmen will. Bei dieser Aufgabe würde ich dann doch für jeses n ein [mm] +\infty" [/mm] einsetzen und bekäme auch immer ein Grenzwert [mm] "+\infty" [/mm] oder "- [mm] \infty" [/mm] raus. Als Gesamtlösung würde ich dann ein [mm] "+\infty" [/mm] wählen, weil dieser Anteil doch überwiegt.
Mein Problem ist immer, dass ich nie weiß, warum es sinnvoll ist umzuformen. Wieso kann ich eigentlich nicht für jedes auftretende n den Grenzwert direkt bestimmen und dann daraus eine Gesamtlösung interpretieren? Oder besser gefragt, woran liegt dass, das dieser Weg fehlschlägt?
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