matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisKonvergenz eines Produktes
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Analysis" - Konvergenz eines Produktes
Konvergenz eines Produktes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz eines Produktes: Frage [gleichen Grenzwert]
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 So 28.11.2004
Autor: Faenol

Hi !

[mm] s_{n}= \bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n}b_{k} [/mm]

wobei [mm] b_{k} [/mm] eine konvergente Folge ist mit  b= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} b_{k} [/mm]

zu zeigen: [mm] s_{n} [/mm] ist konvergent und b= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm]

Ich hatte hier folgenden Ansatz:

[mm] s_{n} [/mm] besteht ja aus Teilfolgen.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}=0. [/mm]
(müßte sogar absolut konvergent sein)

Da [mm] b_{k} [/mm] eine konvergente Folge ist, müss die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}b_{k} [/mm] aber doch eigentlich nicht unbedingt konvergieren ?????
1/n konvergiert ja auch, aber die geometrische Reihe nicht !

Dennoch: [mm] s_{n} [/mm] besteht aus zwei  Teilfolgen !
Aber der limes von einer Teilfolge ist 0 !
Da Multiplikation ist der limes [mm] s_{n}=0. [/mm]

Dann müßte ich doch jetzt beweisen, dass

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}b_{k} [/mm] = 0 ist, oder ?


Oder seh ich da alles falsch ?

Bringt es was die Folge 1/(n+1)  in eine Reihe umzuwandeln (mit Teleskop).
Das wäre ja dann

[mm] \bruch{1}{n+1}=1+ \summe_{k=1}^{n} \bruch{-1}{k(k+1)} [/mm]

Bringt mir das was ? Oder das Cauchy Produkt ?

Danke

Faenôl

        
Bezug
Konvergenz eines Produktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 So 28.11.2004
Autor: Clemens

Hallo Faenôl!

Dass die eine Teilfolge gegen 0 konvergiert, ist noch kein hinreichendes Kriterium dafür, dass [mm] s_{n} [/mm] gegen 0 geht. Denn in Allgemeinheit divergiert ja die Reihe  [mm] \summe_{i=0}^{n}b_{n} [/mm] ziemlich heftig (Wenn b [mm] \not= [/mm] 0 sowieso und bei b = 0 kann die Reihe konvergieren oder divergieren). Daher kann man nicht in Allgemeinheit sagen, dass s := lim [mm] s_{n} [/mm] = 0 ist.

Ich würde folgendermaßen an die Aufgabe rangehen:

Idee:
Für große n ist  [mm] \summe_{i=0}^{n}b_{n} [/mm] "ungefähr" (n+1)*b (d.h. nicht, dass die Differenz zwischen  [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] und (n+1)*b gegen 0 geht). Daher vermuten wir, dass [mm] s_{n} [/mm] den Grenzwert b hat.

Durchführung
Sei  [mm] \varepsilon \in \IR^{+}. [/mm] Es gibt ein [mm] N_{0} [/mm] aus [mm] \IN [/mm] derart, dass für alle n > [mm] N_{0} [/mm] die Ungleichung [mm] b_{n} [/mm] > b - [mm] \bruch{ \varepsilon}{2} [/mm] gilt. Sei A :=  [mm] \summe_{i=0}^{N_{0}}(b_{i} [/mm] - b). Sei [mm] B_{n} [/mm] := [mm] \summe_{i=N_{0} + 1}^{n}(b_{i} [/mm] - b) mit n > [mm] N_{0}. [/mm] Es gilt offensichtlich [mm] B_{n} [/mm] > -(n - [mm] N_{0})* \bruch{ \varepsilon}{2}. [/mm]  Dann gilt für die Werte von [mm] s_{n} [/mm] mit n > [mm] N_{0} [/mm] die folgende Beziehung:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} \summe_{i=0}^{n}b_{i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}( \summe_{i=0}^{N_{0}}b_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=N_{0}+1}^{n}b_{i}) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}( [/mm] A + [mm] (N_{0} [/mm] + 1)b) + [mm] B_{n} [/mm] + (n - [mm] N_{0})*b) [/mm]
=  b + [mm] \bruch{A}{n + 1} [/mm] + [mm] \bruch{B_{n}}{n+1} [/mm]
> b +  [mm] \bruch{A}{n + 1} [/mm] - [mm] \bruch{n - N_{0}}{n + 1}*0.5* \varepsilon [/mm]
und das konvergiert gegen b - [mm] \varepsilon*0.5, [/mm] womit gezeigt ist, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein n existiert, so dass [mm] s_{n} [/mm] > b - [mm] \varepsilon. [/mm] Jetzt musst du noch [mm] s_{n} [/mm] < b + [mm] \varepsilon [/mm] zeigen.

Gruß
Clemens

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]