Konvergenz gegen 1/e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Ich weiß, ich erstell grad viele Themen, aber brauch halt Hilfe xD
Ähm, ich soll zeigen, dass [mm] \bruch{\wurzel[k]{k!}}{k} [/mm] gegen 1/e konvergiert. Kann mir da vllt jemand sagen, wie man da rangehen könnte. Also, der Zähler geht ja gegen unendlich.
|
|
| |
|
> Hallo. Ich weiß, ich erstell grad viele Themen, aber
> brauch halt Hilfe xD
>
> Ähm, ich soll zeigen, dass [mm]\bruch{\wurzel[k]{k!}}{k}[/mm] gegen
> 1/e konvergiert. Kann mir da vllt jemand sagen, wie man da
> rangehen könnte. Also, der Zähler geht ja gegen
> unendlich.
mit der stirling-formel bist du ruckzuck am ziel
n! [mm] \simeq \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n},\qquad n\to\infty
[/mm]
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, das habe ich auch schonmal in einer anderen Quelle gesehn, aber wir hatten diese Formel in der Vorleung noch nicht und dürfen die ja daher nicht benutzen. Wie geht das denn anders?
|
|
|
| |
|
Hallo SolRakt,
> Ja, das habe ich auch schonmal in einer anderen Quelle
> gesehn, aber wir hatten diese Formel in der Vorleung noch
> nicht und dürfen die ja daher nicht benutzen. Wie geht das
> denn anders?
Hmm, selbst wenn man die Stirlingformel verwendet, so hat man:
[mm]\frac{\sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}\left(\frac{e}{k}\right)^k}}{k}=\frac{\frac{e}{k}\cdot{}\sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}}}{k}[/mm]
[mm]=\frac{e}{k^2}\cdot{}\sqrt[k]{(...)}[/mm]
[mm]\longrightarrow \frac{e\cdot{}1}{\infty}=0[/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Oder nicht?
Ist die Aufgabenstellung korrekt so?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, hab grad nochmal geschaut. Hab die Aufgabe hier richtig aufgeschrieben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 09.12.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo SolRakt,
>
>
> > Ja, das habe ich auch schonmal in einer anderen Quelle
> > gesehn, aber wir hatten diese Formel in der Vorleung noch
> > nicht und dürfen die ja daher nicht benutzen. Wie geht das
> > denn anders?
>
> Hmm, selbst wenn man die Stirlingformel verwendet, so hat
> man:
das was du benutzt, ist _nicht ganz_ die stirling-formel!
>
> [mm]\frac{\sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}\left(\frac{e}{k}\right)^k}}{k}=\frac{\frac{e}{k}\cdot{}\sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}}}{k}[/mm]
>
> [mm]=\frac{e}{k^2}\cdot{}\sqrt[k]{(...)}[/mm]
>
> [mm]\longrightarrow \frac{e\cdot{}1}{\infty}=0[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
>
> Oder nicht?
>
> Ist die Aufgabenstellung korrekt so?
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo Tee,
oooh, ein Drahlenzeher 
Danke für den Weckdienst ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich hab in einer Quelle gefunden, dass das so gehn soll:
e [mm] (\bruch{n}{e})^{n} \le [/mm] n! [mm] \le [/mm] e * n [mm] (\bruch{n}{e})^{n}
[/mm]
Ähm, das soll man jetzt mit Induktion erst beweisen und dann Sandwich-Lemma anwenden. Kann mir da jemand helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich hab in einer Quelle gefunden, dass das so gehn soll:
>
> e [mm](\bruch{n}{e})^{n} \le[/mm] n! [mm]\le[/mm] e * n [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm]
>
> Ähm, das soll man jetzt mit Induktion erst beweisen
Ja, wenn ihr diese Abschätzung noch nicht bewiesen habt und du sie verwenden willst, musst du sie natürlich zuerst beweisen. Und das mit vollst. Induktion - da hast du ganz recht!
> und
> dann Sandwich-Lemma anwenden.
Ja, das geht mit der Abschätzung sehr gut und elegant.
> Kann mir da jemand helfen?
Hilfe brauchst du (wenn überhaupt) nur beim Induktionsbeweis für die Abschätzung.
Der Rest ist dann einfach.
Versuche aber erstmal selber, die Abschätzung zu beweisen
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Um ehrlich zu sein, hab ich das nur gefunden, ohne zu wissen, was das soll. Ok, aber stimmt schon, dass man das mit Induktion zeigen muss. Also hab ich ja doch was gelernt xD
Man macht doch am besten die Induktion für jede Ungleichung einzelnd, oder? Also erstmal:
e [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le [/mm] n!
Hab jetzt schon den IS, da der IA klar ist. Aber was mach ich jetzt? Ich sehs nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Um ehrlich zu sein, hab ich das nur gefunden, ohne zu
> wissen, was das soll. Ok, aber stimmt schon, dass man das
> mit Induktion zeigen muss. Also hab ich ja doch was gelernt
> xD
>
> Man macht doch am besten die Induktion für jede
> Ungleichung einzelnd, oder?
Ja, einzeln (ohne d)
> Also erstmal:
>
> e [mm](\bruch{n+1}{e})^{n+1} \le[/mm] n!
Was ist das denn?
Du bist wieder unkonzentriert. Mache weniger glz!!
IV: [mm]n\in\IN[/mm] bel. und gelte [mm]e\left(\frac{n}{e}\right)^n\le n![/mm]
Nun ist zu zeigen, dass auch für n+1 die Ungleichung gilt, dass also
[mm]e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\le (n+1)![/mm] ist.
Nimm die linke Seite her, bringe die Potenz auf n und multipliziere mit der "geschickten" 1: [mm]\left(\frac{e}{n}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/mm]
Dann an die IV denken und an eine weltbekannte Folge ...
Aber mache das erstmal!
>
> Hab jetzt schon den IS, da der IA klar ist. Aber was mach
> ich jetzt? Ich sehs nicht.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
(Wegen "einzelnd", hab mich da vertippt xD)
Ähm, ja, also:
e [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n+1} [/mm]
= e [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n} [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{e})
[/mm]
Wenn ich nun den Trick mit der 1 mache, dann steht da
e [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n} \le [/mm] n! [mm] (\bruch{e}{n+1})
[/mm]
Stimmts bisher? Und was nun?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> (Wegen "einzelnd", hab mich da vertippt xD)
>
> Ähm, ja, also:
>
> e [mm](\bruch{n+1}{e})^{n+1}[/mm]
>
> = e [mm](\bruch{n+1}{e})^{n}[/mm] * [mm](\bruch{n+1}{e})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich nun den Trick mit der 1 mache, dann steht da
erstmal doch:
[mm]e\red{\left(\frac{n+1}{e}\right)^n}\left(\frac{n+1}{e}\right)\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\red{\left(\frac{e}{n}\right)^n}}_{=1}[/mm]
[mm]=e\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\frac{n+1}{e}[/mm] die roten Terme zusammengefasst
[mm]=\blue{e\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n}\cdot{}\green{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\cdot{}\frac{n+1}{e}[/mm]
Und den grünen Term kennst aus einer weltbekannten Folge, die monoton steigen gegen ... konvergiert.
Das kannst du also gegen den GW dieser Folge abschätzen, dann noch die [mm] $\blue{IV}$ [/mm] und du hast es
>
> e [mm](\bruch{n+1}{e})^{n} \le[/mm] n! [mm](\bruch{e}{n+1})[/mm]
>
> Stimmts bisher? Und was nun?
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Boah, dein Ansatz ist echt gut. Naja aber auch schwer xD
Dieser grüne Term konvergiert gegen e, aber wie schätze ich das richtig ab?
So?
e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n}) [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{e} [/mm]
[mm] \le [/mm] e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * e * [mm] \bruch{n+1}{e} [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Boah, dein Ansatz ist echt gut. Naja aber auch schwer xD
>
> Dieser grüne Term konvergiert gegen e, aber wie schätze
> ich das richtig ab?
>
> So?
>
> e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * (1+ [mm]\bruch{1}{n})^{n})[/mm] *
> [mm]\bruch{n+1}{e}[/mm]
> [mm]\le[/mm] e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * e * [mm]\bruch{n+1}{e}[/mm]
Nun die hinteren beiden e kürzen und die IV ins Spiel bringen und du bist fertig
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ah verstehe.
Also steht da nach dem Kürzen:
[mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * (n+1)
Nach IV: [mm] (\bruch{n}{e})^{n} \le [/mm] n!
Somit [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * (n+1) [mm] \le [/mm] (n+1)!
Stimmt das so? Kannst du mir auch bei der anderen Ungleichung helfen? Ich versuchs jetzt mal. Die Aufgabe gibt nämlich viele Punkte.
EDIT: Da steht ja dann (nach gleicher Umformung)
e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] (n+1)(n+1) Wie kann ich jetzt noch den Schluss machen? Hänge grad irgendwie.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ah verstehe.
>
> Also steht da nach dem Kürzen:
>
> [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * (n+1)
Da hast du ein e zuvuiel gekürzt.
Es steht richtig da:
$... \ = \ [mm] e\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot{}(n+1)$
[/mm]
Und die ersten beiden Faktoren kannst du nach IV abschätzen als [mm] $\le n!\cdot{}(n+1)=(n+1)!$
[/mm]
Voilà!
>
> Nach IV: [mm](\bruch{n}{e})^{n} \le[/mm] n!
Wie gesagt: vorne fehlt ein e
>
> Somit [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * (n+1) [mm]\le[/mm] (n+1)!
>
> Stimmt das so? Kannst du mir auch bei der anderen
> Ungleichung helfen? Ich versuchs jetzt mal. Die Aufgabe
> gibt nämlich viele Punkte.
>
> EDIT: Da steht ja dann (nach gleicher Umformung)
>
> e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] (n+1)(n+1)
Da ist jetzt ein n+1 zuviel ...
> Wie kann ich jetzt noch
> den Schluss machen? Hänge grad irgendwie.
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so, stimmt, hab falsch gekürzt xD Versteh ich,
Aber warum ein (n+1) zu viel, das versteh ich nicht so ganz. hmm..
|
|
|
| |
|
Hi,
dann schreibe mal die ganze "gleiche Umformung" mal hin.
Nicht kleckern, klotzen.
Was hast du gerechnet bei der anderen Umformung, die du in dem anderen post nur verbal erwähnst ...
Oder meinst du damit schon die andere Ungleichung?
Das wäre überraschend eingestreut, muss ich zugeben ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, ich machs mal ;)
Also:
zz. n! [mm] \le [/mm] e * n * [mm] (\bruch{n}{e})^{n}
[/mm]
Wieder Induktion.
IA ist klar.
IV auch.
IS:
e * (n+1) * [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n+1} [/mm]
= e * (n+1) * [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n} (\bruch{n+1}{e})
[/mm]
$= e * (n+1) * [mm] (\bruch{n+1}{e})^{n} (\bruch{n+1}{e}) [/mm] * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} (\bruch{e}{n})^{n}$
[/mm]
= e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * (n+1) * [mm] (\bruch{n+1}{n})^{n} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{e} [/mm]
[mm] \le [/mm] e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * (n+1) * e * [mm] \bruch{n+1}{e} [/mm]
= e * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} [/mm] * e * (n+1)(n+1) oder nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ok, ich machs mal ;)
>
> Also:
>
> zz. n! [mm]\le[/mm] e * n * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm]
Hättest du acuh deutlicher sagen können, dass du dir die andere Seite vorgenommen hast
>
> Wieder Induktion.
>
> IA ist klar.
>
> IV auch.
>
> IS:
>
> e * (n+1) * [mm](\bruch{n+1}{e})^{n+1}[/mm]
>
> = e * (n+1) * [mm](\bruch{n+1}{e})^{n} (\bruch{n+1}{e})[/mm]
>
> [mm]= e * (n+1) * (\bruch{n+1}{e})^{n} (\bruch{n+1}{e}) * (\bruch{n}{e})^{n} (\bruch{e}{n})^{n}[/mm]
>
> = e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * (n+1) * [mm](\bruch{n+1}{n})^{n}[/mm] * [mm]\bruch{n+1}{e}[/mm]
Bis hierhin kann ich folgen, ab hier steht doch Quark, du musst doch in die andere Richtung abschätzen: [mm]...\ge ... \ge (n+1)![/mm]
Und das kriegst du mit den ersten 3 Faktoren doch bereits hin.
Überzeuge dich davon, dass die hinteren beiden jeweils [mm]\ge 1[/mm] sind (der letzte ab n=2), dann hast du's doch ...
>
> [mm]\le[/mm] e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * (n+1) * e * [mm]\bruch{n+1}{e}[/mm]
>
> = e * [mm](\bruch{n}{e})^{n}[/mm] * e * (n+1)(n+1) oder nicht?
Nein, das war blind und ohne Nachdenken eine Kopie des anderen Beweises - sowas geht selten gut!
So, ich brauche meinen Schönheitsschlaf [gaehn]
Bis dann
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich kapier das irgendwie nicht. :( Kannst du, wenn du morgen früh on bist (oder jemand anders xD) mal kurz zeigen was du meinst und dann, wofür man diese Behauptung, die hier bewiesen wird, überhaupt gebrauchen kann? Also Sandwich Theorem und so. Muss nämlich morgen früh abgeben und das wäre meine "Rettung" in der Punktzahl. Zumal ich das ja auch verstehe bis jetzt.
|
|
|
| |
|
Moin,
> Ich kapier das irgendwie nicht.
Was genau kapierst du nicht?
In der einen Richtung musstest du [mm]e\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n \ \le \ n![/mm] abschätzen.
In der anderen [mm]e\cdot{}n\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n \ \ge \ n![/mm]
Und da hast du die Richtung umgekehrt, der Beweis war doch fast fertig ...
Wie der Rest geht, habe ich geschrieben ...
Das ist doch nichts wildes mehr ...
> :( Kannst du, wenn du
> morgen früh on bist (oder jemand anders xD) mal kurz
> zeigen was du meinst und dann, wofür man diese Behauptung,
> die hier bewiesen wird, überhaupt gebrauchen kann? Also
> Sandwich Theorem und so.
Wie "und so"?
Mit der Ungleichung kriegst du für [mm]\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}[/mm] eine Abschätzung nach oben und unten und kannst die Folge somit zwischen 2 Folgen einquetschen, die (dann, wenn sie dastehen, sehr leicht ersichtlich)gegen [mm]\frac{1}{e}[/mm] konvergieren.
Ersetze einfach für die Abschätzungen das [mm]k![/mm] in der Folge [mm]\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}[/mm] durch die Ausdrücke in der Ungleichung.
> Muss nämlich morgen früh abgeben
Dann empfehle ich, früher anzufangen ...
> und das wäre meine "Rettung" in der Punktzahl. Zumal ich
> das ja auch verstehe bis jetzt.
Hmm ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 10.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, aber kapier das irgendwie immer noch nicht. Auch wenn ich bereits abgegeben habe, möchte ich verstehn, wie das gehen könnte. Ich kann mir nämlich nicht vorstellen dass die Lösung, die mir später gezeigt wird, mit dieser übereinstimmt. Dennoch möchte ich diese mal hinbekommen, auch als eine Art Übung. Danke sehr.
|
|
|
| |
|
Hallo SR,
> Sry, aber kapier das irgendwie immer noch nicht. Auch wenn
> ich bereits abgegeben habe, möchte ich verstehn, wie das
> gehen könnte. Ich kann mir nämlich nicht vorstellen dass
> die Lösung, die mir später gezeigt wird, mit dieser
> übereinstimmt. Dennoch möchte ich diese mal hinbekommen,
> auch als eine Art Übung. Danke sehr.
Dass du das nicht hinbekommst, kann ich nicht recht glauben.
Der Beweis der Ungleichung steht ja nun hier schon.
Du hast also [mm]e\cdot{}\left(\frac{k}{e}\right)^k \ \le \ k! \ \le \ e\cdot{}k\cdot{}\left(\frac{k}{e}\right)^k[/mm]
Und das musst du doch nur auf deine Folge [mm]\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}[/mm] übertragen.
Mit der Ungleichung also:
[mm]\frac{\sqrt[k]{e\cdot{}\left(\frac{k}{e}\right)^k}}{k} \ \le \ \frac{\sqrt[k]{k!}}{k} \ \le \ \frac{\sqrt[k]{e\cdot{}k\cdot{}\left(\frac{k}{e}\right)^k}}{k}[/mm]
Vereinfache die linke und rechte Seite und schaue, was die für [mm]k\to\infty[/mm] treiben ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 10.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. xD
Jetzt ärger ich mich wieder, dass ich das nicht gesehn hab. Stimmt ja.. Aber vielen Dank dafür.
Mal beim Term [mm] \bruch{\wurzel[k]{e * (\bruch{k}{e})^{k}}}{k}
[/mm]
Soll ich da die Wurzel ziehen bzw. ist das ratsam? xD
Danke nochmal sehr. Möchte das nur komplett verstehn.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ach so. xD
>
> Jetzt ärger ich mich wieder, dass ich das nicht gesehn
> hab. Stimmt ja.. Aber vielen Dank dafür.
>
> Mal beim Term [mm]\bruch{\wurzel[k]{e * (\bruch{k}{e})^{k}}}{k}[/mm]
>
> Soll ich da die Wurzel ziehen bzw. ist das ratsam? xD
Ja sicher, du musst mal weniger kleinschrittig nachfragen, sondern einfach mal probieren, was durchzurechnen. Auch wenn's falsch wird.
Was steht da, wenn du [mm] $\left(\frac{k}{e}\right)^k$ [/mm] rausziehst ... und wogegen konvergiert der Driss.
Analog für die andere Seite ...
So ist Mathe - aus Fehlern lernt man, aber man muss schon selber rechnen
>
> Danke nochmal sehr. Möchte das nur komplett verstehn.
Nun aber
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Do 09.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Ich weiß, ich erstell grad viele Themen, aber
> brauch halt Hilfe xD
>
> Ähm, ich soll zeigen, dass [mm]\bruch{\wurzel[k]{k!}}{k}[/mm] gegen
> 1/e konvergiert. Kann mir da vllt jemand sagen, wie man da
> rangehen könnte.
es gibt einen eigentlich sehr harmlosen Weg (die eigentliche Idee kommt eigentlich aus Betrachtung des Konvergenzradius einer Potenzreihe - man kann es vielleicht umgehen, aber bei meinem Beweis brauchst Du wissen über Potenzreihen):
Setze [mm] $a_k:=\frac{k!}{k^k}\,.$ [/mm] Wegen ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 6.20 ist der Limsup von [mm] $\sqrt[k]{|a_k|}=\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}$ [/mm] ($k [mm] \to \infty$) [/mm] durch den Limsup von [mm] $a_{k+1}/a_k$ [/mm] nach oben beschränkt, wobei letzterer Limsup nach Satz 5.20 sicher dann existiert, wenn der Limes existiert (und dann stimmt wegen eben dieses Satzes der Limsup mit dem Limes überein)..
Die Existenz des zuletzt erwähnten Limes ist aber wegen
[mm] $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)!*k^k}{(k+1)^{k+1}k!}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}$$
[/mm]
mit [mm] $1/e\,$ [/mm] gesichert.
Jetzt braucht man aber natürlich noch ein Argument, warum auch der Liminf von [mm] $\sqrt[k]{|a_k|}$ [/mm] existiert (und mit dem Limsup übereinstimmt). Vielleicht kann man ja dafür die Folge [mm] $(\sqrt[k]{|a_k|})_k$ [/mm] nach unten (durch $1/e$) abschätzen? (Oder anders formuliert: Die Folge [mm] $1/\sqrt[k]{|a_k|}$ [/mm] nach oben durch [mm] $e\,$ [/mm] abschätzen?)
Idee dazu:
Die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)_n$ [/mm] ist bekanntlich (streng) monoton wachsend gegen [mm] $e\,.$ [/mm] Vielleicht kann man nachweisen, dass für jedes $k$ ein [mm] $N=N_k$ [/mm] so existiert, dass [mm] $1/\sqrt[k]{|a_k|}=k/\sqrt[k]{k!} \le \left(1+\frac{1}{N}\right)^{N}$...
[/mm]
(Wobei man dann auch [mm] $N\,$ [/mm] durch jedes größere [mm] $\tilde{N}\,$ [/mm] ersetzen kann, wenn man ein solches [mm] $N\,$ [/mm] gefunden hat.)
Besten Gruß,
Marcel
|
|
|
|
