Konvergenz im Komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Do 11.12.2014 | | Autor: | M93 |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}\*(\bruch{1-i}{2+i})^{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} \* ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie die [mm] Folge(a_{n})n\in\IN [/mm] auf Konvergenz oder Divergenz, wobei
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + [mm] \wurzel{3i}, a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{i*a_{n}}{n+1}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+i)^{n} [/mm] + [mm] (1-i)^{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu 1a)Da habe ich bisher nur den Bruch um die komplex konjugierte Zahl erweitert und bin dann auf
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}\*5^{-n}\*(1-3i)^{n}
[/mm]
gekommen. Da sieht man, dass die Folge hinter dem Summenzeichen für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert und somit dann auch die Reihe konvergieren kann. Ab dem Punkt weis ich nicht wie ich nachweisen soll, dass die Reihe konvergiert.
zu 1b)Ich habe bisher folgendes herausgefunden [mm] ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm] = [mm] ln(1+\bruch{1}{v})
[/mm]
Da sieht man dass die Folge hinter dem Summenzeichen für v gegen unendlich gegen 0 konvergiert und somit kann auch diese Reihe konvergieren. Ab da komme ich nicht weiter, weil ich das selbe Problem wie bei der 1a) habe.
zu 2a) und b) Ich weis, dass ich jeweils den Real- und Imaginärteil auf Konvergenz prüfen soll, aber ich habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir ein paar Tipps oder Ansätze geben könnt.
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Hallo M93, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es ist besser, wenn du für jede Aufgabe (jeden Aufgabenteil) eine eigene Anfrage stellst. So wie jetzt wird es sonst schnell ziemlich unübersichtlich. Ich teile meine Antwort darum direkt mal auf, dann kannst du die weitere Diskussion auch selber leichter verfolgen.
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz.
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^{2}\*(\bruch{1-i}{2+i})^{n}[/mm]
>
> zu 1a)Da habe ich bisher nur den Bruch um die komplex
> konjugierte Zahl erweitert und bin dann auf
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^{2}\*5^{-n}\*(1-3i)^{n}[/mm]
> gekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da sieht man, dass die Folge hinter dem Summenzeichen für
> n gegen unendlich gegen 0 konvergiert
Woran sieht man das? (Es ist schon richtig...)
> und somit dann auch
> die Reihe konvergieren kann. Ab dem Punkt weis ich nicht
> wie ich nachweisen soll, dass die Reihe konvergiert.
Tja. Was weißt Du über Konvergenzkriterien? Was weißt du über komplexe Reihen? Sowohl Real- als auch Imaginärteil müssen konvergieren. Das schreit schonmal nach der Anwendung von Beträgen...
Grüße
reverend
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Weiter...
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz.
> b)
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} \* ln(\bruch{v+1}{v})[/mm]
>
> zu 1b)Ich habe bisher folgendes herausgefunden
> [mm]ln(\bruch{v+1}{v})[/mm] = [mm]ln(1+\bruch{1}{v})[/mm]
> Da sieht man dass die Folge hinter dem Summenzeichen für
> v gegen unendlich gegen 0 konvergiert
Jo.
> und somit kann auch
> diese Reihe konvergieren. Ab da komme ich nicht weiter,
> weil ich das selbe Problem wie bei der 1a) habe.
Na gut. Quotienten- und Wurzelkriterium helfen beide nicht weiter (und das solltest Du erstmal zeigen!).
Findest Du vielleicht eine Minorante oder Majorante? Dazu wirst du eine Abschätzung brauchen. Die ist hier nicht so einfach. Was weißt du über Reihendarstellungen von Funktionen (um einen Punkt) - und darfst Du sie verwenden?
Grüße
reverend
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noch weiter...
Wenn eine komplexe Reihe absolut konvergiert (das hattet Ihr doch schon, oder?), dann konvergiert sie auch sonst.
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz.
> zu 2a) und b) Ich weis, dass ich jeweils den Real- und
> Imaginärteil auf Konvergenz prüfen soll, aber ich habe
> keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Erstmal hilft der Tipp oben hier leider gar nicht weiter (warum?).
Vielleicht ist es einfacher, wenn Du die aufsummierte Folge mal in gerade Glieder (also mit geradem n) und ungerade (entsprechend) aufteilst. Oder die Reihe in reelle und imaginäre Anteile. Kannst Du dann eine Aussage über einen der beiden "neu gewonnenen" Anteile treffen?
Grüße
reverend
PS: Das sieht für mich nicht konvergent aus, aber ich habs auch noch nicht überprüft. Es riecht zu sehr nach harmonischer Reihe.
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...und schließlich (für jetzt):
> Untersuchen Sie die [mm]Folge(a_{n})n\in\IN[/mm] auf Konvergenz oder
> Divergenz, wobei
> b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm](1+i)^{n}[/mm] + [mm](1-i)^{n}[/mm]
>
> zu 2a) und b) Ich weis, dass ich jeweils den Real- und
> Imaginärteil auf Konvergenz prüfen soll, aber ich habe
> keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Hier empfehle ich Dir, mal die ersten vier bis sechs Glieder auszurechnen. Fällt Dir da etwas auf?
So, dann mal viel Erfolg!
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Do 11.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1:
a) stinkt ganz gewaltig nach Wurzelkriterium.
b) stinkt fürchterlich nach Leibnizkriterium, wenn Du die Konvergenz zeigen willst.
Für die absolute Konvergenz lege ich Dir ans Herz, die Partialsummenfolge [mm] (s_n) [/mm] unter die Lupe zu nehmen, wobei
[mm] $s_n= \summe_{v=1}^{n} ln(\bruch{v+1}{v})= \summe_{v=1}^{n} [/mm] (ln(v+1)-ln(v))$.
Zu Aufgabe 2:
a) aus [mm] a_{n+1}= \bruch{i\cdot{}a_{n}}{n+1} [/mm] folgt sofort
[mm] $|a_{n+1}|= \bruch{|a_{n}|}{n+1}$
[/mm]
Und daraus folgt (induktiv):
[mm] $|a_{n}|=\bruch{|a_1|}{n!}$
[/mm]
b) dazu hat unser Priester schon etwas gesaht.
FRED
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