Konvergenz im p-ten Mittel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Es sei eine Folge [mm] (x_k)_{k\in\IN} [/mm] in C[a,b] gegeben. Geben Sie Beispiele dafür an, dass
- aus der punktweisen Konvergenz nicht die gleichmäßige Konvergenz folgt
- aus der Konvergenz im p-ten Mittel nicht die punktweise Konvergenz folgt
- aus der punktweisen Konvergenz nicht die Konvergenz im p-ten Mittel folgt |
Hallo. Bereite mich gerade auf meine Prüfung vor. Die obige Aufgaben kam vor ner Weile mal in einer Übung dran. 2 Fragen dazu:
1. Stimmt meine Definition zur "Konvergenz im p-ten Mittel":
[mm] x_k\to [/mm] x im p-ten Mittel [mm] \Leftrightarrow \forall\epsilon>0\exists n_0\in\IN\forall n>n_0:
[/mm]
[mm] \int_a^b|x_n(t)-x(t)|^{p}dt<\epsilon
[/mm]
In meinem Skript fehlt da nämlich das "hoch p" - aber das muss da doch schon hin, oder?
2. In der Übung haben wir (oder zumindest ich) für die zweite Frage (p-ten Mittel -> punktweise) als Beispiel [mm] x_k=t^k [/mm] aufgeschrieben, und dass das gegen x=0 im p-ten Mittel konvergiert aber weder gleichmäßig noch punktweise. Aber das stimmt doch gar nicht, oder? Kann es sein, dass das [mm] x_k=t^{-k} [/mm] heißen müsste?
Danke schonmal,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei eine Folge [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm] in C[a,b] gegeben. Geben
> Sie Beispiele dafür an, dass
> - aus der punktweisen Konvergenz nicht die gleichmäßige
> Konvergenz folgt
> - aus der Konvergenz im p-ten Mittel nicht die punktweise
> Konvergenz folgt
> - aus der punktweisen Konvergenz nicht die Konvergenz im
> p-ten Mittel folgt
> Hallo. Bereite mich gerade auf meine Prüfung vor. Die
> obige Aufgaben kam vor ner Weile mal in einer Übung dran.
> 2 Fragen dazu:
>
> 1. Stimmt meine Definition zur "Konvergenz im p-ten
> Mittel":
>
> [mm]x_k\to[/mm] x im p-ten Mittel [mm]\Leftrightarrow \forall\epsilon>0\exists n_0\in\IN\forall n>n_0:[/mm]
>
> [mm]\int_a^b|x_n(t)-x(t)|^{p}dt<\epsilon[/mm]
Das ist so richtig
> In meinem Skript fehlt da nämlich das "hoch p" - aber das
> muss da doch schon hin, oder?
Na, klar (sonst käme ja kein p mehr vor )
>
> 2. In der Übung haben wir (oder zumindest ich) für die
> zweite Frage (p-ten Mittel -> punktweise) als Beispiel
> [mm]x_k=t^k[/mm] aufgeschrieben, und dass das gegen x=0 im p-ten
> Mittel konvergiert aber weder gleichmäßig noch
> punktweise. Aber das stimmt doch gar nicht, oder?
Doch. Ich nehme an, es war $ [mm] x_k(t)=t^k [/mm] $ füt t [mm] \in [/mm] [a,b]= [0,1]
Diese Folge konvergiert auf [0,1] nicht punktweise gegen x=0, sondern sie konvergiert auf [0,1] punktweise gegen
[mm] x(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0,1) \\ 1, & \mbox{für } x =1 \end{cases}
[/mm]
Gleichmäßig kann dann die Konvergenz natürlich auch nicht sein
> Kann es
> sein, dass das [mm]x_k=t^{-k}[/mm] heißen müsste?
Nein
FRED
>
> Danke schonmal,
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