Konvergenz in L^2-Norm < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 28.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_i)_{i\in{\IN}} [/mm] i.i.d. mit [mm] E[X_1^2]<\infty [/mm] und [mm] S_n:=\sum_{i=1}^{n} X_i [/mm] für [mm] n\in{\IN}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \left(\bruch{S_n}{n}\right)_{n\in{\IN}} [/mm] in [mm] \mathcal{L}^2-Norm [/mm] gegen [mm] E[X_1] [/mm] konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] S_n\to{\infty} [/mm] fast sicher für [mm] n\to{\infty}, [/mm] falls [mm] E[X_1]>0. [/mm] |
Tag Leute,
also ich mir das Folgendermaßen gedacht.
zu (a):
Es gilt: [mm] \left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2^2=E\left[\Bigl|\bruch{S_n}{n}-E\Bigl[\bruch{S_n}{n}\Bigr]\Bigr|^2\right]=E\left[\Bigl(\bruch{S_n}{n}-E\bigl[\bruch{S_n}{n}\bigr]\Bigr)^2\right]=Var\left[\bruch{S_n}{n}\right]=\bruch{1}{n^2}\cdot{}Var[S_n]\xrightarrow{n\to{\infty}} [/mm] 0
Damit ist auch [mm] \lim_{n\to{\infty}} \left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2=0, [/mm] wodurch die Konvergenz in [mm] \mathcal{L}^2-Norm [/mm] gezeigt wurde.
zu (b):
Aus dem Starken Gesetz der Großen Zahlen wissen wir bereits, dass [mm] \left(\bruch{S_n}{n}\right)_{n\in{\IN}} [/mm] fast sicher gegen gegen [mm] E[X_1] [/mm] konvergiert.
Ich würde nun sagen, dass dann auch [mm] S_n [/mm] fast sicher gegen [mm] n\cdot{}E[X_1] [/mm] konvergiert.
Und mit [mm] E[X_1]>0 [/mm] ist somit [mm] S_n\to{\infty} [/mm] fast sicher für [mm] n\to{\infty}.
[/mm]
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich die fast sichere Konvergenz von [mm] S_n [/mm] gegen [mm] n\cdot{}E[X_1] [/mm] einfach so folgern kann. Vielleicht kann da jemand helfen und mir sagen ob das stimmt bzw. wie man das noch formal zeigen könnte??
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mo 28.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm](X_i)_{i\in{\IN}}[/mm] i.i.d. mit [mm]E[X_1^2]<\infty[/mm] und
> [mm]S_n:=\sum_{i=1}^{n} X_i[/mm] für [mm]n\in{\IN}.[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass
> [mm]\left(\bruch{S_n}{n}\right)_{n\in{\IN}}[/mm] in
> [mm]\mathcal{L}^2-Norm[/mm] gegen [mm]E[X_1][/mm] konvergiert.
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]S_n\to{\infty}[/mm] fast sicher für
> [mm]n\to{\infty},[/mm] falls [mm]E[X_1]>0.[/mm]
> Tag Leute,
> also ich mir das Folgendermaßen gedacht.
>
> zu (a):
> Es gilt:
> [mm]\left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2^2=E\left[\Bigl|\bruch{S_n}{n}-E\Bigl[\bruch{S_n}{n}\Bigr]\Bigr|^2\right]=E\left[\Bigl(\bruch{S_n}{n}-E\bigl[\bruch{S_n}{n}\bigr]\Bigr)^2\right]=Var\left[\bruch{S_n}{n}\right]=\bruch{1}{n^2}\cdot{}Var[S_n]\xrightarrow{n\to{\infty}}[/mm]
wegen [mm] Var[S_n]=nVar(X_1)
[/mm]
Ich glaube, es ist sogar [mm] \left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2^2=0, [/mm] wenn man die Unabhängigkeit und Gleichverteiltheit der explizit eingesetzten Summe ausnutzt.
> 0
>
> Damit ist auch [mm]\lim_{n\to{\infty}} \left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2=0,[/mm]
> wodurch die Konvergenz in [mm]\mathcal{L}^2-Norm[/mm] gezeigt
> wurde.
>
> zu (b):
> Aus dem Starken Gesetz der Großen Zahlen wissen wir
> bereits, dass [mm]\left(\bruch{S_n}{n}\right)_{n\in{\IN}}[/mm] fast
> sicher gegen gegen [mm]E[X_1][/mm] konvergiert.
>
> Ich würde nun sagen, dass dann auch [mm]S_n[/mm] fast sicher gegen
> [mm]n\cdot{}E[X_1][/mm] konvergiert.
>
> Und mit [mm]E[X_1]>0[/mm] ist somit [mm]S_n\to{\infty}[/mm] fast sicher für
> [mm]n\to{\infty}.[/mm]
>
>
> Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich die fast
> sichere Konvergenz von [mm]S_n[/mm] gegen [mm]n\cdot{}E[X_1][/mm] einfach so
> folgern kann. Vielleicht kann da jemand helfen und mir
> sagen ob das stimmt bzw. wie man das noch formal zeigen
> könnte??
> Vielen Dank schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mo 28.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Ich glaube, es ist sogar
> [mm]\left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2^2=0,[/mm]
> wenn man die Unabhängigkeit und Gleichverteiltheit der
> explizit eingesetzten Summe ausnutzt.
Okay vielen Dank für den Hinweis, bin aber noch nicht dahinter gekommen wie du das meinst?!
Ich wollt auch noch wissen, ob meine Überlegung zur Teilaufgabe (b) richtig ist oder ob ich da die Folgerung doch noch zeigen muss?
Dank dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 28.06.2010 | | Autor: | gfm |
> > Ich glaube, es ist sogar
> >
> [mm]\left\|\bruch{S_n}{n}-E\left[\bruch{S_n}{n}\right]\right\|_2^2=0,[/mm]
> > wenn man die Unabhängigkeit und Gleichverteiltheit der
> > explizit eingesetzten Summe ausnutzt.
>
> Okay vielen Dank für den Hinweis, bin aber noch nicht
> dahinter gekommen wie du das meinst?!
Na ja, wenn [mm] ||Y||_{L_2}^2=E(|Y|^2)=E(Y^2), [/mm] dann ist mit [mm] \mu:=E[X_1]
[/mm]
[mm] E[(1/n\summe X_i-\mu)^2]=E[(1/n\summe X_i)^2]-E[2\mu/n\summe X_i]+E[\mu^2]=1/n^2\summe E[X_i]E[X_j]-\mu^2=0,
[/mm]
oder?
>
> Ich wollt auch noch wissen, ob meine Überlegung zur
> Teilaufgabe (b) richtig ist oder ob ich da die Folgerung
> doch noch zeigen muss?
Ich würde zwar nicht sagen ,dass [mm] S_n [/mm] gegen [mm] n\mu [/mm] konvergiert, doch man könnte ja mit Deinem Hinweis auf das starke Gesetz argumentieren, dass die Menge der [mm] \omega [/mm] mit [mm] \lim S_n(\omega)/n=\mu [/mm] das W-Maß eins hat. Auf dieser Menge gilt, dass es zu einem [mm] 0<\epsilon<\mu [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] gilt, sodass für alle [mm] n>n_0 [/mm] die Ungleichung [mm] 0
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 28.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Na ja, wenn [mm]||Y||_{L_2}^2=E(|Y|^2)=E(Y^2),[/mm] dann ist mit
> [mm]\mu:=E[X_1][/mm]
>
> [mm]E[(1/n\summe X_i-\mu)^2]=E[(1/n\summe X_i)^2]-E[2\mu/n\summe X_i]+E[\mu^2]=1/n^2\summe E[X_i]E[X_j]-\mu^2=0,[/mm]
Sorry ich muss hier nochmal nachhaken! Ich versteh schon was du hier machst, aber komm bei den letzten beiden Gleichheitszeichen nicht mehr mit, d.h. ich begerif nicht ganz wie du hier zusammenfasst und bin immer noch etwas ratlos warum das ganze schon 0 ergibt.
Vielleicht könntest du das nochmals erklären?! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 28.06.2010 | | Autor: | gfm |
> > Na ja, wenn [mm]||Y||_{L_2}^2=E(|Y|^2)=E(Y^2),[/mm] dann ist mit
> > [mm]\mu:=E[X_1][/mm]
> >
> > [mm]E[(1/n\summe X_i-\mu)^2]=E[(1/n\summe X_i)^2]-E[2\mu/n\summe X_i]+E[\mu^2]=1/n^2\summe E[X_i]E[X_j]-\mu^2=0,[/mm]
>
>
> Sorry ich muss hier nochmal nachhaken! Ich versteh schon
> was du hier machst, aber komm bei den letzten beiden
> Gleichheitszeichen nicht mehr mit, d.h. ich begerif nicht
> ganz wie du hier zusammenfasst und bin immer noch etwas
> ratlos warum das ganze schon 0 ergibt.
[mm] E[(1/n\summe_{i=1}^n X_i)^2]-E[2\mu/n\summe_{i=1}^n X_i]+E[\mu^2]=E[(1/n\summe_{i=1}^n X_i)(1/n\summe_{j=1}^n X_j)]-2\mu/n\summe_{i=1}^n E[X_i]+\mu^2
[/mm]
[mm] =E[1/n^2\summe_{i,j=1}^n X_iX_j]-2(\mu/n)*(n\mu)+\mu^2=1/n^2\summe_{i,j=1}^n E[X_iX_j]-\mu^2=1/n^2\summe_{i,j=1}^n E[X_i]E[X_j]-\mu^2
[/mm]
[mm] =(1/n^2)*(n^2\mu^2)-\mu^2=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 28.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, dann herzlichen Dank nochmals für Mühe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Do 01.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Die Aussage [mm] $E((S_n/n [/mm] - [mm] E(S_n/n))^2) [/mm] = 0$ kann nur stimmen, wenn [mm] $S_n$ [/mm] fast sicher konstant ist. Und das bezweifle ich gerade fuer $n = 1$ sehr stark.
> > > Na ja, wenn [mm]||Y||_{L_2}^2=E(|Y|^2)=E(Y^2),[/mm] dann ist mit
> > > [mm]\mu:=E[X_1][/mm]
> > >
> > > [mm]E[(1/n\summe X_i-\mu)^2]=E[(1/n\summe X_i)^2]-E[2\mu/n\summe X_i]+E[\mu^2]=1/n^2\summe E[X_i]E[X_j]-\mu^2=0,[/mm]
>
> >
> >
> > Sorry ich muss hier nochmal nachhaken! Ich versteh schon
> > was du hier machst, aber komm bei den letzten beiden
> > Gleichheitszeichen nicht mehr mit, d.h. ich begerif nicht
> > ganz wie du hier zusammenfasst und bin immer noch etwas
> > ratlos warum das ganze schon 0 ergibt.
>
> [mm]E[(1/n\summe_{i=1}^n X_i)^2]-E[2\mu/n\summe_{i=1}^n X_i]+E[\mu^2]=E[(1/n\summe_{i=1}^n X_i)(1/n\summe_{j=1}^n X_j)]-2\mu/n\summe_{i=1}^n E[X_i]+\mu^2[/mm]
>
> [mm]=E[1/n^2\summe_{i,j=1}^n X_iX_j]-2(\mu/n)*(n\mu)+\mu^2=1/n^2\summe_{i,j=1}^n E[X_iX_j]-\mu^2=1/n^2\summe_{i,j=1}^n E[X_i]E[X_j]-\mu^2[/mm]
Hier steckt auch der Feher: fuer $i [mm] \neq [/mm] j$ gilt [mm] $E[X_i X_j] [/mm] = [mm] E[X_i] E[X_j]$ [/mm] wegen der Unabhaengigkeit. Fuer $i = j$ jedoch gilt i.A. nicht [mm] $E[X_i^2] [/mm] = [mm] E[X_i]^2$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:49 Di 29.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Ich würde zwar nicht sagen ,dass [mm]S_n[/mm] gegen [mm]n\mu[/mm]
> konvergiert, doch man könnte ja mit Deinem Hinweis auf das
> starke Gesetz argumentieren, dass die Menge der [mm]\omega[/mm] mit
> [mm]\lim S_n(\omega)/n=\mu[/mm] das W-Maß eins hat. Auf dieser
> Menge gilt, dass es zu einem [mm]0<\epsilon<\mu[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gilt,
> sodass für alle [mm]n>n_0[/mm] die Ungleichung
> [mm]0
> unbeschränkte positive Minorante.
Doch noch eine letzte Frage: Warum muss das W'maß der Menge eigentlich 1 sein? Oder anders gefragt, was wäre wenn es nicht 1 wäre??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Di 29.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ist das einfach dafür, dass ich nachher auch wirklich fast sichere Konvergenz vorliegen hab??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Di 29.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Ist das einfach dafür, dass ich nachher auch wirklich fast
> sichere Konvergenz vorliegen hab??
Eine Aussage gilt fast überall, wenn es eine Menge [mm] N\in\mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(N)=0 [/mm] gibt, so dass auf deren Komplement die Aussage gilt.
Ein Ereignis [mm] E\in\mathcal{A} [/mm] tritt fast sicher ein, wenn P(E)=1.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:35 Do 01.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
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> > Ich würde zwar nicht sagen ,dass [mm]S_n[/mm] gegen [mm]n\mu[/mm]
> > konvergiert, doch man könnte ja mit Deinem Hinweis auf das
> > starke Gesetz argumentieren, dass die Menge der [mm]\omega[/mm] mit
> > [mm]\lim S_n(\omega)/n=\mu[/mm] das W-Maß eins hat. Auf dieser
> > Menge gilt, dass es zu einem [mm]0<\epsilon<\mu[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gilt,
> > sodass für alle [mm]n>n_0[/mm] die Ungleichung
> > [mm]0
> > unbeschränkte positive Minorante.
>
>
> Doch noch eine letzte Frage: Warum muss das W'maß der
> Menge eigentlich 1 sein? Oder anders gefragt, was wäre
> wenn es nicht 1 wäre??
Das kommt direkt aus dem starken Gesetz der großen Zahlen: Sn/n=m fast sicher, d.h. P(Sn/n=m)=1.
Grüße,
dormant
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