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Konvergenz in nom. Räumen: aufzeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 10.05.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
a) Untersuchen Sie die angegebene Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
[mm] a_{n}:=\vektor{\summe_{k=0}^{n}\bruch{5\*3^{k}}{4^{k+2}} \\ \wurzel{1+n}-\wurzel{n} \\42+\bruch{1}{n+1}} [/mm]
b) Sei (V, [mm] \parallel\cdot\parallel_{V}) [/mm] ein vollständiger normierter Raum. Zeigen Sie, dass eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}\subseteqV [/mm] genau dann konvergiert wenn Sie eine Cauchy-Folge ist.



Hallo,
die a) war relativ verständlich, ganz im Gegensatz zu der b) wobei ich da überhaupt keine Idee habe wie ich das lösen soll. Aber erstmal zu a).
[mm] x=\bruch{3}{4}, y=\infty, [/mm] z=42. Eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] konvergiert doch nur wenn alle seine Teilkomponenten den selben "Wert" haben und somit konvergiert diese Folge nicht und hat somit auch keinen Grenzwert.

Ich weiß nicht wie ich die b) , dass eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}\subseteqV [/mm] genau dann konvergiert wenn Sie eine Cauchy-Folge ist,  zeigen soll.
Wäre sehr dankbat, wenn mir das jemand mit Erklärung aufzeigen könnte.
Danke!


        
Bezug
Konvergenz in nom. Räumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mi 10.05.2017
Autor: fred97


> a) Untersuchen Sie die angegebene Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> im [mm]\IR^{3}[/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls
> ihren Grenzwert.
>  [mm]a_{n}:=\vektor{\summe_{k=0}^{n}\bruch{5\*3^{k}}{4^{k+2}} \\ \wurzel{1+n}-\wurzel{n} \\42+\bruch{1}{n+1}}[/mm]
>  
> b) Sei (V, [mm]\parallel\cdot\parallel_{V})[/mm] ein vollständiger
> normierter Raum. Zeigen Sie, dass eine Folge
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}\subseteqV[/mm] genau dann konvergiert wenn Sie
> eine Cauchy-Folge ist.
>  
>
> Hallo,
>  die a) war relativ verständlich, ganz im Gegensatz zu der
> b) wobei ich da überhaupt keine Idee habe wie ich das
> lösen soll. Aber erstmal zu a).
>  [mm]x=\bruch{3}{4}, y=\infty,[/mm] z=42. Eine Folge
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] im [mm]\IR^{3}[/mm] konvergiert doch nur wenn alle
> seine Teilkomponenten den selben "Wert" haben und somit
> konvergiert diese Folge nicht und hat somit auch keinen
> Grenzwert.

Das stimmt nicht:

[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{5\*3^{k}}{4^{k+2}} [/mm] konvergiert gegen 5/4

[mm] \wurzel{1+n}-\wurzel{n} [/mm] konvergiert gegen 0 und die 3. Folge gegen 42.

Damit konv. [mm] (a_n) [/mm] gegen (5/4, [mm] 0,42)^T [/mm]


>  
> Ich weiß nicht wie ich die b) , dass eine Folge
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}\subseteqV[/mm] genau dann konvergiert wenn Sie
> eine Cauchy-Folge ist,  zeigen soll.
>  Wäre sehr dankbat, wenn mir das jemand mit Erklärung
> aufzeigen könnte.
>  Danke!
>  


Bei b) wundere ich mich sehr !

Das was Du angeblich zeigen sollst ist doch die Definition von "vollständig " ?? !

Bezug
                
Bezug
Konvergenz in nom. Räumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 10.05.2017
Autor: Austinn


>   [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{5*3^{k}}{4^{k+2}} [/mm] $ konvergiert gegen 5/4

Danke für die Korrektur!

>   [mm] \wurzel{1+n}-\wurzel{n} [/mm] $ konvergiert gegen 0 und die 3. Folge gegen 42.

Warum konvergiert [mm] \wurzel{1+n}-\wurzel{n} [/mm] gegen 0?

>  Bei b) wundere ich mich sehr !

>  Das was Du angeblich zeigen sollst ist doch die Definition von "vollständig " ?? !

Und wie würde ich das am Beispiel der b) zeigen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz in nom. Räumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Mi 10.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Warum konvergiert [mm]\wurzel{1+n}-\wurzel{n}[/mm] gegen 0?

die Frage nach dem "Warum" kann man dir nur beantworten mit: "Weil es nach Definition des Grenzwerts so ist!"
Was du sicherlich meinst ist "Wie kann ich zeigen, dass die Folge gegen 0 konvergiert".

Tipp: Erweitere mal mit [mm] $\wurzel{1+n} [/mm] + [mm] \wurzel{n}$ [/mm] und erinnere dich an die binomischen Formeln…

>  Und wie würde ich das am Beispiel der b) zeigen?

Da ist nichts zu zeigen! Normalerweise…
Ein normierter Raum ist vollständig, genau dann, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert…

So definiert man das normalerweise. Wenn du die b) "zeigen" sollst, müsst ihr Vollständigkeit anders definiert haben. Wenn du uns verrätst, wie, kann man dir weiterhelfen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz in nom. Räumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Mi 10.05.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


> >  Und wie würde ich das am Beispiel der b) zeigen?

> Da ist nichts zu zeigen! Normalerweise…
>  Ein normierter Raum ist vollständig, genau dann, wenn
> jede Cauchy-Folge konvergiert…

Gezeigt werden soll nun, dass in vollständigen normierten Räumen für jede Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Punkten des Raumes folgende Aussagen äquivalent sind:
1. [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine Cauchy-Folge
2. [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert.

Die Richtung von 1. nach 2. folgt unter Annahme der von dir, Gono, genannten üblichen Definition eines vollständigen normierten Raumes in der Tat direkt aus dieser Definition.
Bleibt noch die Richtung von 2. nach 1. zu zeigen (falls noch nicht in der Vorlesung geschehen).


> So definiert man das normalerweise. Wenn du die b) "zeigen"
> sollst, müsst ihr Vollständigkeit anders definiert haben.
> Wenn du uns verrätst, wie, kann man dir weiterhelfen.

Das fände ich auch auf alle Fälle sinnvoll!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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