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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Konvergenz komplexe Folge
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Konvergenz komplexe Folge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:33 Mi 14.03.2007
Autor: nad21

Aufgabe
Definiere [mm] \theta [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{n!}} [/mm]
Zeige: [mm] \lambda [/mm] = [mm] e^{2*\pi*i*\theta} [/mm] erfuellt die Gleichung [mm] |\lambda^{n_j}-1|^{ 1/(2^{n_j}-1) } \to [/mm] 0, j [mm] \to \infty. [/mm] (1)
[mm] n_j [/mm] ist dabei eine beliebige Folge mit [mm] n_j \to \infty, [/mm] j [mm] \to \infty [/mm]

Hallo,

das Ziel bei dieser Aufgabe ist es eine Folge [mm] n_j [/mm] zu finden die fuer das gegebene [mm] \lambda [/mm] (1) erfuellt.
Wenn man [mm] \lambda [/mm] mal einsetzt und ein wenig umformt, erhalte ich
[mm] (2-2*\cos(2*pi*\theta*n_j))^{1/(2^{n_j+1}-2)} [/mm]
Allerdings scheint eine Abschaetzung mit, z.B. [mm] 4^{1/(2^{n_j+1}-2)} [/mm] nicht viel zu bringen, denn da ist kein [mm] \theta [/mm] mehr drin und scheint fuer Folgen [mm] n_j [/mm] gegen 1 zu konvergieren. Vielleicht hat ja jemand eine Idee/Tipp.

Vielen Dank im Voraus!

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Konvergenz komplexe Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:59 Mi 14.03.2007
Autor: angela.h.b.


>
> das Ziel bei dieser Aufgabe ist es eine Folge [mm]n_j[/mm] zu finden
> die fuer das gegebene [mm]\lambda[/mm] (1) erfuellt.

Hallo,

[willkommenmr].

Bist Du Dir bzgl. des Ziels die Aufgabe ganz sicher? So, wie Du die Aufgabe präsentierst, würde ich davon ausgehen, daß das für sämtliche Folgen [mm] (n_j) [/mm] zu zeigen ist, die gegen [mm] \infty [/mm] gehen.

Ist die Aufgabe, die Du aufgeschrieben hast, die ursprüngliche, oder ist sie Bestandteil einer anderen Aufgabe (ggf. welcher?), bei deren Bearbeitung Du auf dieses Problem gestoßen bist?

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Konvergenz komplexe Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:11 Do 15.03.2007
Autor: nad21

Hallo,

vielen Dank, und danke fuer deine Antwort :-)
Ja, ich bin mir da sicher. Die Aufgabe ist eine Anwendung zu
folgendem Satz:

Satz (Cremer, 1936):
Wenn es eine Sequenz [mm] n_j \to \infty [/mm] mit j [mm] \to \infty [/mm] gibt die (1) erfuellt, dann ist [mm] f(z)=\lambda*z [/mm] + [mm] z^2 [/mm] nicht linearisierbar in einer Umgebung des Ursprungs.

Der Beweis dieses Satzes ist erstaunlicherweise ziemlich einfach, aber die Anwendung scheint es nicht zu sein ;-)

Das angegebene [mm] \lambda [/mm] ist ein Beispiel, dass es solche [mm] \lambda [/mm] Werte wirklich gibt.

Ich denke nicht, dass das fuer alle Folgen [mm] n_j [/mm] mit [mm] n_j \to \infty [/mm] zu zeigen ist. Ich habe einfache Beispiele fuer [mm] n_j [/mm] (also z.B. [mm] n_j [/mm] = j) in Maple mal ausgewertet, und fuer alle Folgen die ich ausprobiert habe erhalte ich Konvergenz gegen 1.




Bezug
        
Bezug
Konvergenz komplexe Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Sa 17.03.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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