Konvergenz koplexer Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_{n\ge 0} [/mm] eine monoton fallende reelle Nullfolge in [mm] \IR. [/mm]
Beweisen Sie . [mm] \summe_{n=0}^{\infty}i^n*a_n [/mm] konvergiert in [mm] \IC. [/mm] |
Hi,
was ich im Bereich der reellen Zahlen machen muß weiß ich ungefähr. Aber wie kriege ich den Beweis im Bereich der komplexen Zahlen hin???
Hat jemand einen Tipp für mich??
Besten Dank im Voraus
didi_160
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Hallo!
Zerlege die Reihe in ihren Real- und Imaginärteil!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 05.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für Deine Mitteilung.
> Zerlege die Reihe in ihren Real- und Imaginärteil!
Also: z= u+iw
= [mm] (u+iw)^0a_0+(u+iw)a_1+(u+iw)^2a_2+...+(u+iw)^na_n
[/mm]
= [mm] a_0+ua_1+u^2a_2+...+u^na_n [/mm] + [mm] i(a_0+wa_1+w^2a_2+...+w^na_n)
[/mm]
Was mache ich nun weiter mit: [mm] a_0+ua_1+u^2a_2+...+u^na_n [/mm] bzw.
[mm] a_0+wa_1+w^2a_2+...+w^na_n [/mm] ????
Kannst Du mir noch nächsten Schritt zeigen?? Besten Dank im Voraus.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 06.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Dein Ansatz mit $u+i*v_$ stimmt hier nicht so ganz. Betrachte mal die Werte von dem Ausdruck [mm] $i^n$ [/mm] .
Denn dieser Term kann nur vier verschiedene Werte annehmen für $n \ = \ 4*k$ , $n \ = \ 4*k+1$ , $n \ = \ 4*k+2$ sowie $n \ = \ 4*k+3$ (dabei gilt: $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IZ$ [/mm] ).
Und erst dann den Term [mm] $i^n*a_n$ [/mm] in Real- bzw. Imaginärteil zerlegen.
Gruß
Loddar
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