Konvergenz mit Quotientenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mi 26.11.2008 | | Autor: | cript |
| Aufgabe | Sei [mm] \{a_{n}\} [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Nehmen Sie an, dass [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to [/mm] r für n [mm] \to \infty. [/mm] Zeigen Sie, dass, falls [mm] 0\le [/mm] r< 1, die Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}
[/mm]
Und falls r>1 die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] divergiert.
(Hinweis: Vergleichen Sie mit der geometrischen Reihe)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Matheraum-Forum!
Es handelt sich hierbei um eine Hausaufgabe die wir so nicht besprochen hatten in der Vorlesung.
Ich habe da einen Lösungsvorschlag:
Da es sich um eine harmonische Reihe handelt gibt das Quotientenkriterium [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty. [/mm] Daher gibt es kein [mm] 0\le [/mm] r< 1 mit [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le [/mm] r für alle n.
Daher konvergiert die Reihe nicht.
Ich bin mir aber hierbei sehr unsicher, da ich eigentlich noch eine Umformung in eine geometrische Reihe machen muss??
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\{a_{n}\}[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Nehmen Sie an,
> dass [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to[/mm] r für n [mm]\to \infty.[/mm]
> Zeigen Sie, dass, falls [mm]0\le[/mm] r< 1, die Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm]
>
> Und falls r>1 die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm]
> divergiert.
> (Hinweis: Vergleichen Sie mit der geometrischen Reihe)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo liebes Matheraum-Forum!
>
> Es handelt sich hierbei um eine Hausaufgabe die wir so
> nicht besprochen hatten in der Vorlesung.
> Ich habe da einen Lösungsvorschlag:
>
> Da es sich um eine harmonische Reihe
Wie bitte ?????
>handelt gibt das
> Quotientenkriterium [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to[/mm] 1 für n
> [mm]\to \infty.[/mm] Daher gibt es kein [mm]0\le[/mm] r< 1 mit
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le[/mm] r für alle n.
> Daher konvergiert die Reihe nicht.
Das ist doch alles Unsinn
>
> Ich bin mir aber hierbei sehr unsicher, da ich eigentlich
> noch eine Umformung in eine geometrische Reihe machen
> muss??
>
> Vielen Dank.
Es gelte $ | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to [/mm] $ r für n $ [mm] \to \infty [/mm] $ und r<1.
Wähle q mit r<q<1. Dann ex. ein N in [mm] \IN [/mm] mit: [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le [/mm] q für n>N.
Zeige jetzt induktiv: [mm] |a_{N+k}| \le q^k |a_N| [/mm] für k in [mm] \IN
[/mm]
Dann : Majorantenkriterium und geometrische Reihe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 26.11.2008 | | Autor: | cript |
Hallo FRED
Danke für die schnelle Antwort aber ich verstehe nur Bahnhof.
Was meinst du mit "ex. ein N in N....." ??
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
>
> Danke für die schnelle Antwort aber ich verstehe nur
> Bahnhof.
>
> Was meinst du mit "ex. ein N in N....." ??
>
> Danke
Wir haben doch: $ | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to [/mm] $ r für n $ [mm] \to \infty [/mm] $ und r<1 und r<q.
Dann liegen doch ab einem Index N die Glieder der Folge (| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|) [/mm] so hahe bei r, dass | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le [/mm] q ab diesem Index N gilt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 27.11.2008 | | Autor: | cript |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe leider immer noch nicht weiter...
wie bestimme ich denn dieses q ?
Muss ich eine vollständige Induktion durchführen für die Ungleichung?
Ich bitte um Hilfe, mir fehlt der Ansatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das q mußt Du nicht bestimmen. q muß nur eine Zahl zwischen r und 1 sein, z.B. [mm] \bruch{r+1}{2}
[/mm]
Was es mit dieser Zahl auf sich hat, habe ich Dir schon gestern erzählt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 27.11.2008 | | Autor: | cript |
Also ich kann jetzt also z.B. $ [mm] \bruch{r+1}{2} [/mm] $
in
$ [mm] |a_{N+k}| \le q^k |a_N| [/mm] $ für k in $ [mm] \IN [/mm] $
einsetzen und dann muss ich schaun ob q<1 oder q>1 ?? ? ? ?? ? ? ? ?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Also ich kann jetzt also z.B. [mm]\bruch{r+1}{2}[/mm]
> in
> [mm]|a_{N+k}| \le q^k |a_N|[/mm] für k in [mm]\IN[/mm]
> einsetzen und dann muss ich schaun ob q<1 oder q>1 ?? ?
Es ist [mm]q = \bruch{r+1}{2}[/mm] < 1, denn r<1 !!!!!
Also ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k |a_N| [/mm] eine konvergente Majorante
FRED
> ? ?? ? ? ? ?
>
> Danke.
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