Konvergenz mit ln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 So 18.01.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Die Folge [mm] (\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v} [/mm] - [mm] ln(n+1))_{n}
[/mm]
ist konvergent. (Hinweis: [mm] n+1=(\produkt_{v=1}^{n}\bruch{v+1}{v}) [/mm] |
Hallo,
Kann mir jemand bie dieser Aufgabe helfen? Ich weiß, dass ich den Hinweis einsetrzten soll aber was passiert dann mit dem Produkt und dem ln?? Das versteh ich nicht, habe auch nirgends etwas darüber gefunden.Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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> Beweisen Sie: Die Folge [mm](\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v}- ln(n+1))_{n}[/mm]
> ist konvergent.
> Hinweis: [mm]n+1=(\produkt_{v=1}^{n}\bruch{v+1}{v})[/mm]
> Hallo,
> Kann mir jemand bie dieser Aufgabe helfen? Ich weiß, dass
> ich den Hinweis einsetzen soll aber was passiert dann mit
> dem Produkt und dem ln?? Das versteh ich nicht, habe auch
> nirgends etwas darüber gefunden.
hallo ulla,
Verwende einfach einmal die Logarithmengesetze:
$\ [mm] ln\left(\produkt_{v=1}^{n} a_v\right)=\summe_{v=1}^{n}ln(a_v)$
[/mm]
$\ [mm] ln\left(\bruch{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 18.01.2009 | | Autor: | ulla |
Danke für deine Hilfe.
Also ich habe nun da stehen:
[mm] \summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v}-\summe_{v=1}^{n}ln\bruch{v+1}{v}
[/mm]
= [mm] \summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v} [/mm] - [mm] \summe_{v=1}{n}ln(v+1)-ln(v)
[/mm]
nun weiß ich nicht wieich zeigen soll das es konvergent ist, mein Problem ist hier vor allem das Summenzeichen und die ln Funktion. Kannst du mir da wieder helfen?? Danke
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> Danke für deine Hilfe.
> Also ich habe nun da stehen:
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> [mm]\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v}\ -\ \summe_{v=1}^{n}ln\bruch{v+1}{v}[/mm]
> = [mm]\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v}\ -\ \summe_{v=1}^n (ln(v+1)-ln(v))[/mm]
>
> nun weiß ich nicht wie ich zeigen soll das es konvergent
> ist, mein Problem ist hier vor allem das Summenzeichen und
> die ln Funktion. Kannst du mir da wieder helfen?? Danke
Die vorgeschlagene "Vereinfachung" von $\ ln\ [mm] \bruch{v+1}{v}$ [/mm]
war hier vielleicht doch nicht sinnvoll.
So sollte es wohl gehen:
$\ ln\ [mm] \bruch{v+1}{v}\ [/mm] =\ [mm] ln\,\left(1+\bruch{1}{v}\right)$
[/mm]
Auf diesen Ausdruck kann man nun die Reihen-
darstellung
$\ [mm] ln(1+x)=x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^4}{4}+\bruch{x^5}{5}- [/mm] ...$
anwenden. Ganz sicher bin ich nicht, dass dies zum
Ziel führt.
Selber hätte ich für den Nachweis einen anderen
Weg (Vergleich von Integralen und Treppensummen)
gewählt.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 18.01.2009 | | Autor: | ulla |
also wenn ich das so schreibe kann ich dann vor dem ln das summenzeichen weglassen?
somit müsste ich dann nur noch zeigen , dass die ertse summe monoton fallend oder steigend ist, oder? Denn die ln Funktion ist ja monoton steigend. Wenn ich dass dann gezeigt habe und ich weiß auch nicht wie ich das zeigen soll, vielleicht kannst du mir da helfen, dann muss ich noch die beschränktheit zeigen aber d kom ichauch nicht weiter!
Vielleicht kannst du mir bei diesen 2 Dingen noch helfen? Danke
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> also wenn ich das so schreibe kann ich dann vor dem ln das
> summenzeichen weglassen?
> somit müsste ich dann nur noch zeigen , dass die ertse
> summe monoton fallend oder steigend ist, oder? Denn die ln
> Funktion ist ja monoton steigend. Wenn ich dass dann
> gezeigt habe und ich weiß auch nicht wie ich das zeigen
> soll, vielleicht kannst du mir da helfen, dann muss ich
> noch die beschränktheit zeigen aber d kom ichauch nicht
> weiter!
> Vielleicht kannst du mir bei diesen 2 Dingen noch helfen?
> Danke
Wir hatten:
[mm] $\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{v}\ [/mm] -\ [mm] \summe_{v=1}^{n}ln\,\bruch{v+1}{v}$
[/mm]
Zu einer Summe zusammengezogen:
[mm] $\summe_{v=1}^{n}\left(\bruch{1}{v}\ -\ ln\ \bruch{v+1}{v}\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \summe_{v=1}^{n}\left(\bruch{1}{v}\ -\ ln\,\left(1+\bruch{1}{v}\right)\right)$
[/mm]
Reihendarstellung für [mm] ln\,\left(1+\bruch{1}{v}\right) [/mm] angewendet:
$\ =\ [mm] \summe_{v=1}^{n}\left(\bruch{1}{2v^2}\ -\ \bruch{1}{3v^3}\ +\ \bruch{1}{4v^4}\ -\ ..... \right)$
[/mm]
Die Logarithmen sind damit eliminiert, doch es
bleibt zu zeigen dass letztere Reihe konvergiert.
Dazu nur zwei Tipps:
1.) Die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}$ [/mm] ist konvergent
(dies habt ihr möglicherweise irgendwann bewiesen)
2.) Eine alternierende Reihe, bei der die Beträge
der Glieder eine monotone Nullfolge bilden,
ist konvergent (Leibniz-Kriterium).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 18.01.2009 | | Autor: | ulla |
zu deinem ersten Tipp:
also [mm] 1/v^{2} [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{\pi^{2}}{6} [/mm] ich versteh nicht warum ich das für [mm] \bruch{1}{v^{2}} [/mm] zeigen muss.Kannst du mir das zeigen oder erklären, auch für Tipp 2?
und bei dem 2 Tipp komm ich auch nicht drauf wie ich das zeigen soll??
Hiilfe ich verzweifle!
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> zu deinem ersten Tipp:
> also [mm]1/v^{2}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{\pi^{2}}{6}[/mm]
du meinst die unendliche Reihe mit diesen Gliedern
> ich versteh nicht warum ich das für [mm]\bruch{1}{v^{2}}[/mm] zeigen
> muss.Kannst du mir das zeigen oder erklären, auch für Tipp 2?
> und bei dem 2 Tipp komm ich auch nicht drauf wie ich das zeigen soll??
Hallo Ulla,
> > $\ .....\ =\ [mm] \summe_{v=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2v^2}\ -\ \bruch{1}{3v^3}\ +\ \bruch{1}{4v^4}\ -\ ..... \right)$
[/mm]
> > es bleibt zu zeigen dass letztere Reihe konvergiert.
> > Dazu nur zwei Tipps:
> > 1.) Die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}$ [/mm] ist konvergent
> > (dies habt ihr möglicherweise irgendwann bewiesen)
> > 2.) Eine alternierende Reihe, bei der die Beträge
> > der Glieder eine monotone Nullfolge bilden,
> > ist konvergent (Leibniz-Kriterium).
Ich nehme einmal an, dass man diese Ergebnisse
für die vorliegende Aufgabe benützen darf und nicht
auch noch beweisen muss.
Die Reihe kann man auseinandernehmen:
$\ [mm] \summe_{v=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2v^2}\ -\ \bruch{1}{3v^3}\ +\ \bruch{1}{4v^4}\ -\ ..... \right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \underbrace{\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{1}{2v^2}}_{S_2}\ [/mm] -\ [mm] \underbrace{\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{1}{3v^3}}_{S_3}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{1}{4v^4}}_{S_4}\ [/mm] -\ .....$
Nun ist [mm] S_2=\bruch{\pi^2}{12} [/mm] und man kann leicht zeigen, dass
$\ [mm] S_2\ [/mm] >\ [mm] S_3\ [/mm] >\ [mm] S_4\ [/mm] >\ [mm] S_5\ [/mm] >\ [mm] S_6\ [/mm] >\ .....\ >\ 0$
Nach dem Leibniz-Kriterium muss deshalb die Reihe
$\ [mm] S_2\ [/mm] -\ [mm] S_3\ [/mm] +\ [mm] S_4\ [/mm] -\ [mm] S_5\ [/mm] +\ [mm] S_6\ [/mm] -\ .....$
konvergieren.
LG Al-Chw.
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