Konvergenz monotoner Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 04.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=2n-1 [/mm] |
Hallo,
also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge [mm] (a_{n})_{n \ge n_{0}} [/mm] reeller Zahlen konvergiert."
Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw. divergenz obiger Folge beweisen.
Hier mein Lösungsvorschlag:
(i) [mm] a_{n}=2n-1 [/mm] ist streng monoton steigend, da [mm] a_{n}=2n-1 [/mm] < [mm] 2n+1-1=a_{n+1}
[/mm]
(ii) [mm] a_{n}=2n-1 [/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm] \le [/mm] 2n-1 [mm] \le \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur schreiben?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> [mm]a_{n}=2n-1[/mm]
> Hallo,
>
> also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge
> [mm](a_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] reeller Zahlen konvergiert."
>
> Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw.
> divergenz obiger Folge beweisen.
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> (i) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist streng monoton steigend, da [mm]a_{n}=2n-1[/mm] <
> [mm]2n+1-1=a_{n+1}[/mm]
>
> (ii) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm]\le[/mm] 2n-1 [mm]\le \infty[/mm]
Was soll die letzte Ungleichung bedeuten?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar
> streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
>
> Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur
> schreiben?
Ja, aber es genügt die Unbeschränktheit nachzuweisen.
Nimm dir ein bel. [mm]M\in\IR[/mm] her und zeige, dass es ein [mm]n_0\in\IN[/mm] gibt mit [mm]a_n \ > \ M[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
Löse einfach [mm]2n-1>M[/mm] nach [mm]n[/mm] auf:
[mm]\gdw n>\frac{M+1}{2}[/mm]
Du kannst also [mm]n_0:=\lfloor\frac{M+1}{2}\rfloor \ + \ 1[/mm] wählen.
Die Folgenglieder lassen sich also durch kein noch so großes [mm]M[/mm] "einfangen" ...
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Fr 04.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo Ali,
>
>
> > [mm]a_{n}=2n-1[/mm]
> > Hallo,
> >
> > also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge
> > [mm](a_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] reeller Zahlen konvergiert."
> >
> > Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw.
> > divergenz obiger Folge beweisen.
> >
> > Hier mein Lösungsvorschlag:
> >
> > (i) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist streng monoton steigend, da [mm]a_{n}=2n-1[/mm] <
> > [mm]2n+1-1=a_{n+1}[/mm]
> >
> > (ii) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm]\le[/mm] 2n-1 [mm]\le \infty[/mm]
>
> Was soll die letzte Ungleichung bedeuten?
Diese Ungleichung soll bedeuten, dass die Folge beschränkt ist zwischen -1 und [mm] \infty [/mm] und somit eigentlich unbeschränkt ist. Also keine ahnung wie ich das genau erklären soll aber ich will zeigen, dass die obere Schranke [mm] \infty [/mm] ist und somit wächst die Folge über alle Grenzen und ist deshalb unbeschränkt.
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar
> > streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
> >
> > Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur
> > schreiben?
>
> Ja, aber es genügt die Unbeschränktheit nachzuweisen.
>
> Nimm dir ein bel. [mm]M\in\IR[/mm] her und zeige, dass es ein
> [mm]n_0\in\IN[/mm] gibt mit [mm]a_n \ > \ M[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
>
> Löse einfach [mm]2n-1>M[/mm] nach [mm]n[/mm] auf:
>
> [mm]\gdw n>\frac{M+1}{2}[/mm]
>
> Du kannst also [mm]n_0:=\lfloor\frac{M+1}{2}\rfloor \ + \ 1[/mm]
> wählen.
>
> Die Folgenglieder lassen sich also durch kein noch so
> großes [mm]M[/mm] "einfangen" ...
>
Diese Methode die bestimmte divergenz nachzuweisen kenne ich und kann ich wie ich auch in vorgegangenen forenbeiträgen gezeigt habe. ich möchte aber wissen, ob das möglich ist mit obigen satz die bestimmte divergenz bzw. konvergenz zu beweisen.
kannst du mir folgen? XD
> >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Ali,
> >
> >
> > > [mm]a_{n}=2n-1[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge
> > > [mm](a_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] reeller Zahlen konvergiert."
> > >
> > > Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw.
> > > divergenz obiger Folge beweisen.
> > >
> > > Hier mein Lösungsvorschlag:
> > >
> > > (i) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist streng monoton steigend, da [mm]a_{n}=2n-1[/mm] <
> > > [mm]2n+1-1=a_{n+1}[/mm]
> > >
> > > (ii) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm]\le[/mm] 2n-1 [mm]\le \infty[/mm]
>
> >
> > Was soll die letzte Ungleichung bedeuten?
>
> Diese Ungleichung soll bedeuten, dass die Folge beschränkt
> ist zwischen -1 und [mm]\infty[/mm] und somit eigentlich
> unbeschränkt ist. Also keine ahnung wie ich das genau
> erklären soll aber ich will zeigen, dass die obere
> Schranke [mm]\infty[/mm] ist und somit wächst die Folge über alle
> Grenzen und ist deshalb unbeschränkt.
das besagt die Ungleichung aber keineswegs - und sie ist so trivial, dass
sie vollkommen überflüssig ist.
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar
> > > streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
> > >
> > > Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur
> > > schreiben?
> >
> > Ja, aber es genügt die Unbeschränktheit nachzuweisen.
> >
> > Nimm dir ein bel. [mm]M\in\IR[/mm] her und zeige, dass es ein
> > [mm]n_0\in\IN[/mm] gibt mit [mm]a_n \ > \ M[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
> >
> > Löse einfach [mm]2n-1>M[/mm] nach [mm]n[/mm] auf:
> >
> > [mm]\gdw n>\frac{M+1}{2}[/mm]
> >
> > Du kannst also [mm]n_0:=\lfloor\frac{M+1}{2}\rfloor \ + \ 1[/mm]
> > wählen.
> >
> > Die Folgenglieder lassen sich also durch kein noch so
> > großes [mm]M[/mm] "einfangen" ...
> >
>
> Diese Methode die bestimmte divergenz nachzuweisen kenne
> ich und kann ich wie ich auch in vorgegangenen
> forenbeiträgen gezeigt habe. ich möchte aber wissen, ob
> das möglich ist mit obigen satz die bestimmte divergenz
> bzw. konvergenz zu beweisen.
Nein: Mit dem Haupsatz über monotone Folgen selbst kannst Du, wenn
eine Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] reeller Zahlen vorliegt, bspw. dieses folgern:
Erfüllt [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] die Voraussetzung, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] monoton wachsend
ist und wenn [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] zudem die Voraussetzung erfüllt, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm]
(nach oben) beschränkt ist, dann muss [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konvergent sein.
Wenn Du nun weißt, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] monoton wachsend ist, und dass
[mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] UNBESCHRÄNKT ist, dann kannst Du zwar folgern, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm]
dann auch nicht beschränkt sein kann - aber nicht mit dem Haupsatz über
monotone Folgen; sondern etwa mit dem Satz, dass konvergente Folgen
in notwendiger Weise auch beschränkt sein müssen.
> kannst du mir folgen? XD
Ich denke schon - es ist aber dennoch ein wenig schwer, Dir hier wirklich
den Fehler klarzumachen, weil die Aussage zwar schon stimmt, aber die
Methode, mit der Du zu der Aussage kommst, falsch ist.
Ähnlich wie bei
$$-3=3 [mm] \;\;\Rightarrow\;\; (-3)^2=9=3^2\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ nichts anderes besagt, dass [mm] $\neg [/mm] A$ oder [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist - und oben
ist die Aussage [mm] $B\,:$ [/mm] " [mm] ${(-3)}^2=9={3}^2$ [/mm] " wahr; und sogar auch [mm] $\neg [/mm] A$ wäre wahr, weil dort
die Aussage [mm] $A\,:$ [/mm] " $-3=3$ " ist! Generell ist ja daher $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
immer dann sicher wahr, wenn [mm] $\neg [/mm] A$ gilt; anders gesagt: "Aus falschem
folgt alles!")
Diese Folgerung ist absolut korrekt, die Gleichung [mm] $-3=3\,$ [/mm] gilt halt nie...
> > >
> > > Danke schonmal.
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Grüße
> Ali
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 05.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok Ok.
Ich habe verstanden. den satz kann ich in diesem fall nicht verwenden. ok.
Danke für eure umfangreichen antworten.
grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> [mm]a_{n}=2n-1[/mm]
> Hallo,
>
> also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge
> [mm](a_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] reeller Zahlen konvergiert."
>
> Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw.
> divergenz obiger Folge beweisen.
Mit diesem Satz kann man nur Konvergenz aber nicht Divergenz nachweisen.
Für den Divergenznachweis benutze:
"Jede konvergente Folge ist beschränkt",
und zeige, daß eine vorgelegte Folge nicht beschränkt ist.
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> (i) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist streng monoton steigend, da [mm]a_{n}=2n-1[/mm] <
> [mm]2n+1-1=a_{n+1}[/mm]
Und hier ein Rechenfehler: [mm] $2n+\red{2} [/mm] - 1 = [mm] a_{n+1}\,.$
[/mm]
Aber abgesehen davon ist die Monotonie für den Nachweis der Divergenz irrelevant.
>
> (ii) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm]\le[/mm] 2n-1 [mm]\le \infty[/mm]
Deine Begründung ist keine. Schreibe einfach "2n-1 ist unbeschränkt", und lasse die Formel weg! Sie ist nichtssagend: Jede reelle Zahl ist [mm] $\le \infty$, [/mm] ja sogar $< [mm] \infty$. [/mm] Dies gilt daher auch für jedes Glied jeder reellen Folge, egal ob konvergent oder divergent.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar
> streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
>
> Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur
> schreiben?
Die Idee ist richtig, aber in der Klausur könnte es Abzüge geben. Gerade bei solchen einfachen Aufgaben kann ja nur die Formulierung Deiner Argumente gewertet werden.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a_{n}=2n-1[/mm]
> Hallo,
>
> also ein Satz besagt: "Jede beschränkte monotone Folge
> [mm](a_{n})_{n \ge n_{0}}[/mm] reeller Zahlen konvergiert."
der Satz bringt Dir aber nichts, weil Du eine unbeschränkte monoton
wachsende Folge hast. Du kannst ja mal folgendes beweisen:
Eine monoton wachsende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie
(nach oben) beschränkt ist. Das würde Dir helfen - aber strenggenommen
verpackt man da auch nur das, was Wolfgang schon erwähnte:
Konvergente Folgen sind notwendig beschränkt.
> Anhand dieses Satzes möchte ich die konvergenz bzw.
> divergenz obiger Folge beweisen.
Wie denn? Du zeigst unten, dass die Folge monoton wachsend ist. Das ist
ein Teil der Voraussetzung des genannten Satzes. Die andere
Voraussetzung, dass die Folge beschränkt ist, wirst Du nicht bewiesen
bekommen. Daher sind die Voraussetzungen des Satzes gar nicht gegeben
und dieser nicht anwendbar. Und nun?
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> (i) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist streng monoton steigend, da [mm]a_{n}=2n-1[/mm] <
> [mm]2n+1-1=a_{n+1}[/mm]
Da hat Wolfgang ja schon 'n Lapsus von Dir korrigiert.
> (ii) [mm]a_{n}=2n-1[/mm] ist nicht beschränkt, da -1 [mm]\le[/mm] 2n-1 [mm]\le \infty[/mm]
Wenn Du beweisen willst, dass die Folge unbeschränkt ist, bringt Dir diese
Ungleichung so gar nichts: Es gilt auch $-1 [mm] \le [/mm] 1/n [mm] \le \infty\,,$ [/mm] und dennoch
ist [mm] ${(1/n)}_n$ [/mm] als konvergente Folge insbesondere beschränkt.
Was Du schreiben kannst:
Aus
$$2n-1 [mm] \ge [/mm] n [mm] \to \infty$$
[/mm]
folgt
$$2n-1 [mm] \to \infty\,.$$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist bestimmt divergent, da die Folge zwar
> streng monoton steigend aber nicht beschränkt ist.
Das stimmt zwar, aber das ist nicht der Inhalt des von Dir genannten
Satzes:
Du benutzt hier eine andere Aussage, nämlich die Aussage:
Ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] monoton wachsend und konvergent, dann ist [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] beschränkt.
Und dass das gilt, ist klar, wenn man weiß, dass sowieso generell schon
konvergente Folgen beschränkt sein müssen.
> Ist das richtig so? Darf ich das so in der Klausur
> schreiben?
Nur, wenn Du das auch richtig schreibst, und nicht so wie hier. Du kannst ja
nicht sagen:
'Ich kenne einen Satz, der besagt:
"Wenn die Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] wahr sind, dann gilt auch Aussage [mm] $C\,.$"
[/mm]
(Kurz: $(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] C$!)'
Und dann sagen: "Wegen $(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] C$ gilt auch $(A [mm] \wedge (\neg [/mm] B)) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] C)$".
Was man mit $(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] C$ noch anderes anfangen könnte,
wäre die Kontraposition:
[mm] $$(\neg [/mm] C) [mm] \Rightarrow \neg(A \wedge [/mm] B)$$
oder anders gesagt
[mm] $$(\neg [/mm] C) [mm] \Rightarrow ((\neg [/mm] A) [mm] \vee (\neg B))\,.$$
[/mm]
Beispiel: Es gilt/gelte der Satz: Wenn ich das Dach von meinem Auto offen
gelassen habe und es regnet, dann werden die Sitze in meinem Auto nass.
Mit diesem Wissen kannst Du doch aber nicht folgern, dass die Sitze in
meinem Auto nicht nass werden, wenn ich das Dach von meinem Auto offen
gelassen habe und es nicht regnet. Vielleicht steht ja irgendein Idiot mit
einem Wasserschlauch da und ärgert mich...
Ich wüßte dann höchstens: Wenn meine Sitze nicht nass werden, dann
habe ich das Dach von meinem Auto nicht offen oder es regnet halt nicht.
Gruß,
Marcel
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