Konvergenz normierter Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Gegeben sei der normierte Raum [mm] Y:=({\IR}^{2}, \parallel *\parallel_{2}). [/mm]
Untersuchen Sie die Folge [mm] (y_{n})_{n\in\IN} [/mm] durch [mm] y_{n}:= (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}}) [/mm] auf Konvergenz bzgl. [mm] \parallel *\parallel_{2}. [/mm] |
Hi!
Ich hab mal eine Frag zu dieser Aufgabe.
Ich soll hier die Konvergenz bzgl. [mm] \parallel *\parallel_{2} [/mm] zeigen, wobei wir [mm] \parallel {*}\parallel_{2} [/mm] so definiert haben:
[mm] \parallel x\parallel_{2} [/mm] := [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^2} \to d_{2}(x,y)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^2}, [/mm] also die Norm 2.
Wenn ich jetzt hier für [mm] x_{i}=\bruch{1}{n} [/mm] und für [mm] y_{i}=\bruch{1}{n^2} [/mm] einsetze, steht dann ja Folgendes da:
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2} |^2}.
[/mm]
Mache ich das so richtig?
Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
Wie kann ich das nun auf Konvergenz untersuchen?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Ich komme da irgendwie nicht weiter.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei der normierte Raum [mm]Y:=({\IR}^{2}, \parallel *\parallel_{2}).[/mm]
> Untersuchen Sie die Folge [mm](y_{n})_{n\in\IN}[/mm] durch [mm]y_{n}:= (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}})[/mm]
> auf Konvergenz bzgl. [mm]\parallel *\parallel_{2}.[/mm]
> Hi!
>
> Ich hab mal eine Frag zu dieser Aufgabe.
> Ich soll hier die Konvergenz bzgl. [mm]\parallel *\parallel_{2}[/mm]
> zeigen, wobei wir [mm]\parallel {*}\parallel_{2}[/mm] so definiert
> haben:
> [mm]\parallel x\parallel_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^2} \to d_{2}(x,y)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^2},[/mm]
> also die Norm 2.
Ja, wenn [mm] x=(x_1,...,x_n) [/mm] und [mm] y=(y_1,...,y_n)
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt hier für [mm]x_{i}=\bruch{1}{n}[/mm] und für
> [mm]y_{i}=\bruch{1}{n^2}[/mm] einsetze, steht dann ja Folgendes da:
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2} |^2}.[/mm]
>
> Mache ich das so richtig?
Nein. Mit Deinen Bezeichnungsweisen kommst Du ins schleudern.
Es ist [mm] ||y_n||_2= \wurzel{\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^4}}
[/mm]
[mm] (y_n) [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] es ex. ein [mm] y_0 \in \IR^2 [/mm] mit
[mm] ||y_n-y_0||_2 \to [/mm] 0.
Na, was kommt denn für [mm] y_0 [/mm] in Frage ?
FRED
> Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
> Wie kann ich das nun auf Konvergenz untersuchen?
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Ich komme da
> irgendwie nicht weiter.
>
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die Hinweise!
Ich bin mir nicht ganz sicher, was mit [mm] y_{0} [/mm] gemeint ist. Ist das mein Grenzwert der Folge $ [mm] y_{n}:= (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}}) [/mm] $, also (0,0)?
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> Erstmal danke für die Hinweise!
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> Ich bin mir nicht ganz sicher, was mit [mm]y_{0}[/mm] gemeint ist.
> Ist das mein Grenzwert der Folge [mm]y_{n}:= (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}}) [/mm],
> also (0,0)?
Ja
FRED
>
> Gruß Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, vielen Dank!
Gruß Petrit!
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