Konvergenz reeller Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
[mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{3*5}+\bruch{1}{5*7} [/mm] ... = [mm] \bruch{2}{2*3}+\bruch{2}{2*3*4}+\bruch{2}{3*4*5} [/mm] |
Hat jemand nen heißen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Blueplanet,
> Beweise:
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> [mm]\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3*5}+\bruch{1}{5*7}[/mm] ... = [mm]\bruch{2}{2*3}+\bruch{2}{2*3*4}+\bruch{2}{3*4*5}[/mm]
> Hat jemand nen heißen Tipp für mich?
So ganz spontan fällt mir dazu ein, die Reihen linker- und rechterhand mal hinzuschreiben und dann die Reihenwerte zu berechnen:
Da steht ja nichts anderes als die Beh.: [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+2)}$
[/mm]
Nun über Partialbruchzerlegung linker- und rechterhand die entsprechenden Teleskopsummen berechnen...
Ansatz: [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2n-1} \ + \ \frac{B}{2n+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{A}{2n-1} \ + \ \frac{B}{2n+1}\right)}_{=:S_k}$
[/mm]
Berechne mal die A, B uns stelle eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] auf, das gibt die oben erwähnte Teleskopsumme, deren GW du leicht berechnen kannst
Selbiges rechterhand: Ansatz: [mm] $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Kleine Anmerkung: die rechte Seite ist keine unendliche Reihe, sondern besteht nur aus 3 Gliedern, ist also eine gegebene rationale Zahl)
Okay, also die Partialbruchzerlegung führt mich schonmal zu
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{2n-1} \ - \ \frac{1}{2n+1}\right)}_{=:S_k}
[/mm]
Ehrlich gesagt weiß ich aber noch nicht genau, wie mich das weiter bringt, denn das ist doch eine Teleskopsumme, bei der nur das erste und letzte Glied übrig bleibt. Für k -> unendlich geht das letzte Glied gegen Null, so dass da am Ende steht: 1/4=9/20
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 11.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> (Kleine Anmerkung: die rechte Seite ist keine unendliche
> Reihe, sondern besteht nur aus 3 Gliedern, ist also eine
> gegebene rationale Zahl)
>
> Okay, also die Partialbruchzerlegung führt mich schonmal
> zu
>
>
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{2n-1} \ - \ \frac{1}{2n+1}\right)}_{=:S_k}[/mm]
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> Ehrlich gesagt weiß ich aber noch nicht genau, wie mich das
> weiter bringt, denn das ist doch eine Teleskopsumme, bei
> der nur das erste und letzte Glied übrig bleibt. Für k ->
> unendlich geht das letzte Glied gegen Null, so dass da am
> Ende steht: 1/4=9/20
???????????????
[mm] (S_k) [/mm] strebt doch gegen 1 ! Also ist
$ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{2n-1} \ - \ \frac{1}{2n+1}\right)}_{=:S_k} [/mm] = 1/2 $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Blueplanet |
Du hast natürlich recht, aber auch [mm] \frac{1}{2}\not=\frac{9}{20}
[/mm]
Allerdings kommt mir gerade der Verdacht, dass mein Prof da was vergessen hat. Die drei Pünktchen auf der rechten Seite der Gleichung in der Aufgabenstellung nämlich. Dann kommts wahrscheinlich hin.
Danke an alle!
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Hallo nochmal,
> Du hast natürlich recht, aber auch
> [mm]\frac{1}{2}\not=\frac{9}{20}[/mm]
>
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> Allerdings kommt mir gerade der Verdacht, dass mein Prof da
> was vergessen hat. Die drei Pünktchen auf der rechten Seite
> der Gleichung in der Aufgabenstellung nämlich. Dann kommts
> wahrscheinlich hin.
Ja, dann kommt's tatsächlich hin, so, wie es dasteht (ohne Pünktchen) ist die rechte Seite [mm] <\frac{1}{2}
[/mm]
Es passt also "so" noch nicht ...
>
> Danke an alle!
LG
schachuzipus
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