Konvergenz rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] durch [mm] $a_n=0$ [/mm] und [mm] $a_n [/mm] = [mm] \wurzel{1+a_{n-1}} \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 1$
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert |
Ich will jetzt zeigen dass die Folge monoton ist und beschraenkt. Das mit der Monotonie hab ich mit Induktion hinbekommen. Aber wie zeige ich die Beschraenktheit und wie rechne ich den Grenzwert aus?
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Nehmen wir mal eine "unsaubere" Variante. Sie könnte Dich aber versehentlich auf die richtige, begründbare Lösung führen.
Nimm an, es gäbe einen Grenzwert. Dann wird (einmal schlucken, und durch...) [mm] a_{\infty}=\wurzel{1+a_{\infty-1}} [/mm] sein und zugleich den Grenzwert darstellen. Nennen wir ihn x.
Für x gilt also: [mm] x=\wurzel{1+x}.
[/mm]
Die Gleichung hat zwei Lösungen, wovon allerdings die negative ausscheidet.
Nach dieser (wie gesagt unsauberen) Rechnung ist der Grenzwert der goldene Schnitt [mm] \Phi=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5}).
[/mm]
Das ist auch die richtige Lösung. Jetzt brauchst Du nur noch einen sauberen Weg.
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