Konvergenz rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Do 22.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Sei x > 0. Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] a_{1}=1
[/mm]
und
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{x}{a_{n}})
[/mm]
Zeigen Sie , dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie Ihren Grenzwert |
Hallo ,
Lso ich habe festegestellet , dass für x = 1
die Folge konstant 1 ist
für x werte kleiner als eins fällt sie direkt monoton
für x werte größr als 1 , steigt sie mit [mm] a_{2} [/mm] an , fällt dann aber
ab [mm] a_{3} [/mm] und sinkt monoton
1) Ich wollte eine untere schranke finden
wenn ich mir die Definition anschaue :
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{x}{a_{n}})
[/mm]
mit [mm] y=a_{n+1}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] ) = y
Nach Umformung erhalte ich die quadratische Gleichung :
[mm] (a_{n})^{2} [/mm] - 2 [mm] a_{n} [/mm] + x = 0
zum Lösen erhalte ich als Diskriminante:
[mm] y^{2}-x [/mm]
für eine reelle Lösung muss [mm] y^{2} [/mm] - x [mm] \ge [/mm] 0 sein
also y [mm] \ge \wurzel[2]{x}
[/mm]
Also die Werte [mm] a_{n} [/mm] sind ab [mm] a_{2} [/mm] immer [mm] \ge \wurzel[2]{x}
[/mm]
also ist [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] untere Schranke
bin ich soweit richtig , kann ich das so machen ?
die Untere Schranke hätt ich dann , dann muss ich noch zeigen dass si ab [mm] a_{3} [/mm] monoton fällt.
habt dank für Rat
lg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 22.05.2008 | | Autor: | Kroni |
> Sei x > 0. Die Folge [mm](a_{n})n \in \IN[/mm] sei rekursiv
> definiert durch
>
> [mm]a_{1}[/mm] = 1
>
> und
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{x}{a_{n}}[/mm] )
>
> Zeigen Sie , dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie
> Ihren Grenzwert
> Hallo ,
>
>
> 1) Ich wollte eine untere schranke finden
>
> wenn ich mir die Definition anschaue :
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{x}{a_{n}}[/mm] )
>
> y sei der Wert ders Folgengliedes [mm]a_{n}[/mm]
>
> also [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{x}{a_{n}}[/mm] ) = y
Hi,
dann muss aber [mm] y=a_{n+1} [/mm] sein. Sonst gilt das nicht! Denn es steht dort oben ja dann [mm] a_{n+1}=....
[/mm]
>
> Nach Umformung erhalte ich die quadratische Gleichung :
>
>
> [mm](a_{n})^{2}[/mm] - 2 [mm]a_{n}[/mm] + x = 0
Das stimmt so nicht. Wenn du das umformst, erhälst du:
[mm] $a_n^2-2ya_n+x=0$
[/mm]
Das bringt dir aber nichts....
Der Rest ist dann auch ein wenig merkwürdig.
Was ich machen würde wäre folgendes:
Dass 0 eine untere Schranke ist, kann man schon fast sehen...x soll ja größer 0 sein. Dann zeigen wir via Vollständige Induktion, dass [mm] a_n [/mm] sagen wir ab n=3 größer 0 ist (damit wir das n=2 für x>0 weglassen können).
Eine Folge konvergiert ja auch dann, wenn sie ab einem bestimmten n immer größer ist als irgendeine Zahl, und dann (streng) monoton fallend ist.
D.h., wir zeigen, dass [mm] a_n [/mm] >0 für [mm] n\ge3 [/mm] gilt, und dann zeigen wir, dass [mm] a_n [/mm] streng monoton fallend ist (via Vollständägier Induktion), und dann muss die Reihe ja schon konvergieren.
Dann nehmen wir an, dass [mm] a_n=a_{n+1}=a [/mm] für große n gilt, und a der Grenzwert der Reihe ist, und dann können wir die Gleichung nach a umstellen.
Beste Grüße,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 22.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hi ,
also da hab ich mich vertippt ,
natürlich heißt es
[mm] (a_{n})^{2} [/mm] - 2y [mm] a_{n} [/mm] + x = 0
als Diskrimnante erhalte ich
[mm] y^{2} [/mm] - x
also wenn [mm] y^{2} [/mm] - x [mm] \ge [/mm] 0
dann y [mm] \ge \wurzel[2]{x}
[/mm]
undt tatsächlich habe ich durch ausrechnen vieler Folgenglieder auch
für die verschiedensten x werte immer festgestellt ,
dass die Werte fallen und sich [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] immer
weiter annähern aber nicht erreichen .
Ich denke also [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] ist Grenzwert
So falsch kann es also nicht sein ( vielleicht ein bischen unsauber??)
Danke aber für Deinen Rat , ich werde jetzt versuchen es so zu machen
lg
Thomas
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:31 Do 22.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
na, was du doch hier machst ist folgendes:
Du berechnest [mm] $a_n^2-2ya_n+x=0$
[/mm]
Jetzt sagst du, dass [mm] y=a_n [/mm] und stellst dann um. Dann erhälst du wirklich [mm] $y=\sqrt{x}$, [/mm] was auch der Grenzwert ist.
Du musst aber erstmal zeigen, dass das Teil konvergiert. Warum setzt du dann aufmal anstatt = ein [mm] $\ge$? [/mm] Du musst erstmal zeigen, dass es beschränkt ist, was du hier aber nicht tust. Dann musst du zeigen, dass das Teil noch (streng) monton fällt (was du auch nicht gezeigt hast), und erst dann "darfst" du [mm] y=a_n [/mm] setzen, obwohl es ja eigentlich [mm] a_{n+1} [/mm] ist, und dann zu dem Schluss kommen, dass der Grenzwert [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist.
Du zeigst nur, dass es der Grenzwert wäre, wenn die Reihe konvergieren würde, aber du musst "streng genommen" zeigen, dass das Teil konvergiert, und erst dann darfst du den Grenzwert ausrechnen.
LG
Kroni
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:30 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Schranke 0 reicht hier nicht, um danach die Monotonie zu zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hi ,
Also
[mm] a_{n} [/mm] > für n [mm] \ge [/mm] 3
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{2x}{1+x}
[/mm]
also
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
+ [mm] \bruch{2x}{1+x} [/mm] > 0
wahr für alle x [mm] \in \IR [/mm]
jetzt hab ich es für [mm] a_{3} [/mm] gezeigt
aber für alle folgenden muss ich es doch auch zeigen:
also auch vollständige Induktion oder ?
dann war für n = 3 als mein InduktionsanfanG
Induktionsschritt :
[mm] a_{n} [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow a_{n+1} [/mm] > 0
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] )
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] ) > 0
mit [mm] a_{n} [/mm] > 0
ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] ) > 0
sehr offensichtlich wahr.
Zeige dass [mm] a_{n} [/mm] monoton fällt durch vollständige induktion
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
Induktionsanfang
n= 3
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{2x}{1+x}
[/mm]
[mm] a_{4} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm]
+ [mm] \bruch{x}{1+x+\bruch{4x}{1+x}}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{2x}{1+x}
[/mm]
[mm] \ge
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm]
+ [mm] \bruch{x}{1+x+\bruch{4x}{1+x}}
[/mm]
/Rightarrow
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x [/mm] + [mm] \bruch{x}{1+x }
[/mm]
[mm] \ge
[/mm]
[mm] \bruch{x}{1+x+\bruch{4x}{1+x}}
[/mm]
offensichtlich wahr für alle x [mm] \in \IR^{+}
[/mm]
Induktionsschritt
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n+1} \ge a_{n+2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} (a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}}
[/mm]
[mm] \ge
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} (a_{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n+1}}
[/mm]
Jetzt muss ich ja irgendwie [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n+1} [/mm] ausdrücken
damit ich [mm] a_{n+1} [/mm] in verhältnis zu [mm] a_{n+2} [/mm] bekomme
und so hinterher zu
[mm] a_{n+1} \ge a_{n+2} [/mm] gelange , das scheint mir reichlich kompliziert
hat jemand einen einfacheren weg ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:40 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Ungleichung [mm] (a+b)/2\ge\wurzel{ab} [/mm] benutzt kannst du zeigen, dass an für n>1 also ausser dem ersten Glied alle größer [mm] \wurzel{x}.
[/mm]
um dann zu zeigen, dass das monoton fällt ab a2 kannst du [mm] a_n\ge\wurzel{x} [/mm] vorraussetzen und benutzen und zeigen, dass dann [mm] a_{n+1}/an<1 [/mm] ist, d.h. monoton fallend.
ohne die Vors. kriegst du das nicht hin.
Was du mit der Induktion machst versteh ich überhaupt nicht! woher du detwa bei a4 1/4 gleich am Anfang hast usw. ist mir unverständlich.
Aber ich glaub auch nicht, dass du Erfolgsaussichten auf dem Weg hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo , ,
bin in meiner Zetttelwirtschaft hier voll durcheinandergekommen
Hallo , also hier meine Rechnung bis [mm] a_{4},
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = 1
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( 1 + [mm] \bruch{x}{1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( 1 + x )
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
[mm] a_{3}= \bruch{1}{2} [/mm]
* ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
+ [mm] \bruch{x}{\bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} x} [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{x}{1+x}
[/mm]
[mm] a_{4} [/mm] = ........
= [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}x [/mm] + [mm] \bruch{x}{2+2x}
[/mm]
+ [mm] \bruch{2x}{1+x+ \bruch{4x}{1+x}}
[/mm]
so müsste e richtig sein.
Also habe cin nicht in meinem ersten Ansatz schon gezeigt dass
[mm] \wurzel[2]{x} [/mm] eine untere Schranke ist ??
hier ist der Ausschnitt:
1) Ich wollte eine untere schranke finden
wenn ich mir die Definition anschaue :
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] )
mit y = [mm] a_{n+1} [/mm]
also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}} [/mm] ) = y
Nach Umformung erhalte ich die quadratische Gleichung :
[mm] (a_{n})^{2} [/mm] - 2 y [mm] a_{n} [/mm] + x = 0
zum Lösen erhalte ich als Diskriminante:
[mm] y^{2} [/mm] - x
für eine reelle Lösung muss [mm] y^{2} [/mm] - x [mm] \ge [/mm] 0 sein
also y [mm] \ge \wurzel[2]{x} [/mm]
Also die Werte [mm] a_{n} [/mm] sind ab [mm] a_{2} [/mm] immer [mm] \ge \wurzel[2]{x}
[/mm]
Ich habe doch so gezeigt , bei der Formel
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}})
[/mm]
[mm] a_{n+1}
[/mm]
nur Werte [mm] \ge \wurzel[2]{x} [/mm] annehmen kann ,
Es gibt keine Folgenglieder [mm] a_{n} [/mm] mit denen
bei [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{x}{a_{n}})
[/mm]
ein Wert < [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] für [mm] a_{n+1} [/mm] herauskommt
also ist doch gezeigt , dass [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] eine untere
Schranke ist oder ?
Jetzt muss ich doch nur noch zeigen dass die Folge monoton fällt
und dann habe ich die zwei Bedingungen
1) fällt monoton
2) untere schranke besteht
erfüllt , somit wäre Konvergenz gezeigt
Ich versuche zu zeigen , dass die Folge ab [mm] a_{3} [/mm] monoton fällt
mittels vollständiger Induktion es gelingt mir aber nicht :
Das würde ja so laufen :
Induktionsanfang :
n = 3
[mm] a_{3} \ge a_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
[mm] \ge [/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{x}{1+x}
[/mm]
..........
[mm] x^{2} [/mm] - 2x + 1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
\ Aussage stimmt für n = 3
Induktionsschrit
zu zeigen:
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] a_{n+1} \ge a_{n+2}
[/mm]
also muss ich von
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
......
......
......
[mm] a_{n+1} \ge a_{n+2} [/mm] hierhin kommen
Das krieg ich nicht hin
kann ich das nur , muss ich das anders zeigen ???
Wie kann ich denn unter der bereits gezeigten vorraussetzng
[mm] a_{n} \ge \wurzel[2]{x}
[/mm]
zeigen dass
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le [/mm] 1 ist ?
lg
thomas
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Hallo Thomas,
dein Weg um zu zeigen, dass [mm] \sqrt{x} [/mm] eine untere Schranke ist, ist recht ungewöhnlich und recht unübersichtlich aufgeschrieben, weswegen das wohl für etwas Verwirrung gesorgt hat.(Trotzallem eigentlich ein schöner Weg, da recht kurz  )
Die Begründung deinerseits ist da auch etwas ungenau und vorallem brauchst du das y gar nicht, das fördert nur die Unübersichtlichkeit. Ich würde wie folgt argumentieren:
Es gilt:
[mm]a_n^2 - 2a_{n+1}*a_n + x = 0[/mm] nach Definition
=> Es existiert Nullstelle dieser Quadratischen Funktion
=> Diskriminante [mm]a_{n+1}^2 - x \ge 0[/mm] muss gelten
=> [mm]a_{n+1} \ge \sqrt{x}[/mm]
Daraus wird auch klar, warum [mm]a_n \ge \sqrt{x}[/mm] erst ab n=2 gilt.
Dann mal weiter im Text :)
> [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]a_{n+1} \ge a_{n+2}[/mm]
>
> also muss ich von
>
> [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> ......
> ......
>
> ......
>
> [mm]a_{n+1} \ge a_{n+2}[/mm] hierhin kommen
Ja, so könnte man es machen.
Versuch doch aber einfach mal direkt zu zeigen:
[mm]a_{n+1} \le a_n[/mm]
Form das um, auf welche Ungleichung kommst du? Ist diese wahr mit den vorangegangenen Betrachtungen? (Tip: Dritte binomische Formel)
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo
Ich weiß überhaupr nicht wie ich hier
[mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] etwas umformen soll unter der Vorraussetzung
das [mm] \wurzel[2]{x} [/mm] untere Schranke ist.
tut mir leit
totale Lücke
lg
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Wie haben nunmehr gezeigt, dass gilt: [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
Und nun betrachten wie die Ungleichung [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] .
Setzen wir zunächst die Definition ein:
[mm] $$\underbrace{\bruch{1}{2}*\left(a_n+\bruch{x}{a_n}\right)}_{= \ a_{n+1}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$$
[/mm]
Forme diese Ungleichung mal um nach [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ ...$ (dafür benötigst Du auch irgendwann, dass gilt [mm] $a_n [/mm] \ > \ 0$ ). Was erhältst Du? Das sollte Dir bekannt vorkommen.
Damit wäre dann die Gültigkeit der Ungleichung [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] nachgewiesen und damit auch die Monotonie.
Gruß
Loddar
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Hallo Thomas,
es handelt sich bei der Rekursion, die du untersuchen sollst,
um ein etwa zweitausend Jahre altes Verfahren (Verfahren
von Heron) zur schrittweisen Annäherung an die Quadratwurzel.
Letzteres hast du schon festgestellt.
Mein Tipp:
Um die Konvergenz zu beweisen, lohnt es sich bestimmt,
zunächst ein paar Beispiele mit dem Taschenrechner oder
mit Tabellenkalkulation konkret durchzuspielen !
LG al-Ch.
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