Konvergenz überprüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 10.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
hallo an alle,
bin wieder am verzweifeln, also was eine Folge ist verstehe ich auch was konvergente Folgen sind, nun habe ich aber das problem, zu verstehen, wie man denn die konvergenz beweist.
ich verstehe die rechenschritte nicht und habe mir schon voll vieles angeguckt und versucht zu verstehen, aber es klappt irgendwie nicht :(((
hier ein beispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{10 hoch k} [/mm] = 0
so, [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \varepsilon [/mm] <1, also 0< [mm] \varepsilon [/mm] < 1
das verstehe ich noch.
aber wieso wegen: [mm] \bruch{1}{10 hoch k} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < 10 hoch k
ich verstehe diese rechenschritte dieser aufgabe nicht:
10 hoch k = (1+9) hoch k [mm] \ge [/mm] 1+9k> [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
iwe kommen die den auf (1+9) ??
und dann auf:
1+9k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] , also k> [mm] \bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon}
[/mm]
und dann setzen die noch: k [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon}
[/mm]
dann gilt demzufolge:
k > k [mm] \varepsilon \Rightarrow [/mm] k > [mm] \bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon} \Rightarrow [/mm] 1+9k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (1+9) hoch k > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow [/mm] > [mm] \bruch{1}{10 hoch k} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ich bin dankbar für jede kleine erklärung, ich verstehe einfach diese rechenschritte nicht!
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> hallo an alle,
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> bin wieder am verzweifeln, also was eine Folge ist verstehe
> ich auch was konvergente Folgen sind, nun habe ich aber das
> problem, zu verstehen, wie man denn die konvergenz
> beweist.
> ich verstehe die rechenschritte nicht und habe mir schon
> voll vieles angeguckt und versucht zu verstehen, aber es
> klappt irgendwie nicht :(((
>
> hier ein beispiel:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{10 hoch k}[/mm] = 0
Hi,
wenn du das siehst, und die Folge gegen 0 konvergiert, muss also ab einem Gewissen n gelten: [mm] |a_k-0|<\epsilon \gdw 1/10^k<\epsilon \forall \epsilon>0
[/mm]
Dann komms du mit Hilfe von Umformungen zu [mm] 10^k>1/\epsilon
[/mm]
Soweit noch klar? Das sind einfach Umformungen, indem du mit [mm] 10^k [/mm] multiplizierst auf beiden Seiten und dann durch [mm] \epsilon [/mm] teilst. Das < bleibt so stehen, weil [mm] 10^k>0 [/mm] und [mm] \epsilon>0
[/mm]
>
> so, [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]\varepsilon[/mm] <1, also 0< [mm]\varepsilon[/mm]
> < 1
>
> das verstehe ich noch.
>
> aber wieso wegen: [mm]\bruch{1}{10 hoch k}[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw \bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> < 10 hoch k
>
> ich verstehe diese rechenschritte dieser aufgabe nicht:
>
> 10 hoch k = (1+9) hoch k [mm]\ge[/mm] 1+9k> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
>
> iwe kommen die den auf (1+9) ??
Nun: [mm] (10)^k=(1+9)^k [/mm] Denn 10=1+9, das kann man ja so schreibeb. Dann wird Bernoulli ausgenutzt, die besagt, dass [mm] $(1+x)^n\ge [/mm] 1+nx$ ist. Die kannst du mit vollständiger Induktion zeigen, habt ihr bestimmt auch schon gemacht.
>
> und dann auf:
>
> 1+9k > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] , also k>
> [mm]\bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon}[/mm]
>
> und dann setzen die noch: k [mm]\varepsilon[/mm] :=
> [mm]\bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon}[/mm]
Ja. Hier wird einfach gesagt, dass [mm] $10^k\ge 1+9k>1/\epsilon$ [/mm] gelten soll. Dass [mm] 10^k>1/\epsilon [/mm] weist du ja schon von oben. Dann wird einfach nur noch das 1+9k dort mit reingeschoben, um [mm] 1/\epsilon [/mm] noch ein wenig kleiner zu machen. Das kann man einfach so machen.
>
> dann gilt demzufolge:
>
> k > k [mm]\varepsilon \Rightarrow[/mm] k > [mm]\bruch{1-\varepsilon}{9 \varepsilon} \Rightarrow[/mm]
> 1+9k > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1+9) hoch k > [mm]\bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{10 hoch k}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Da wird dann wieder gesagt, dass [mm] k>k\epsilon, [/mm] wenn ich [mm] \epsilon [/mm] sehr klein wähle. Da vorher [mm] k\epsilon [/mm] definiert wurde als deinen Bruch, kann man sagen, dass diese Ungleichung gilt. Letzendlich gesehen gehst du einfach wieder nur zurück und sagst, dass 1+9k größer ist als [mm] 1/\epsilon.
[/mm]
Da du weist, dass [mm] 10^k>1/\epsilon [/mm] bist du fertig, weil du dann gezeigt hast, dass [mm] 1/10^k<\epsilon [/mm] gilt.
Ich finde aber, dass man sich da ein wenig im Kries gedreht hat...aber naja.
Die Rechenschritte, warum und wieso, das sieht man nur, bzw. man kommt nur selbst drauf, wenn man mit der Sache schon viel Erfahrung hat. Von daher ist das kein Problem, wenn man diese Schritte nicht auf Anhieb sieht.
LG
Kroni
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> ich bin dankbar für jede kleine erklärung, ich verstehe
> einfach diese rechenschritte nicht!
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> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Do 10.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
danke für die verständliche erklärung ich werde versuchen das jetzt zu verdauen und wenns immer noch nicht geht, dann muss ich weiterhin fragen stellen :///
danke nochmal!
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