Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz und berechne den Limes (falls er existiert):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm] \bruch{2^n+n^2}{3^n} [/mm] |
Hallo,
bin bei der Aufgabe bis jetzt so weit gekommen:
Meine Vermutung ist, dass der Grenzwert 0 ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+n^2}{3^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{3^n}
[/mm]
Jetzt möchte ich zeigen, dass sowohl [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] als auch [mm] \bruch{n^2}{3^n} [/mm] Nullfolgen sind, weshalb ich dann wüsste, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+n^2}{3^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] =0 + 0 = 0.
Erstmal soweit, ist das richtig? Jetzt weiß ich schon, dass [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] immer gegen Null geht.
Jetzt fehlt mir also der Beweis, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] = 0
Habt ihr veilleicht einen Tipp. Habe schon mit ln versucht, aber irgendwie komm ich damit nicht weiter.
Liebe Grüße Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht versuchst dus mit [mm] n^2<2^n [/mm] ab einem n >.....
z. Bsp mit vollst Induktion zeigen .
Gruss leduart
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Hallo,
ja, das habe ich mir zuerst auch überlegt, wie der Beweis funktioniert weiß ich auch. Doch leider bringt mir das hier nichts, oder? Denn ich kann auch zeigen, dass n > n+1 ist, doch der Grenzwert von [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] ist nicht Null.
Oder habe ich hier einen Denkfehler?
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Hallo,
> Hallo,
> ja, das habe ich mir zuerst auch überlegt, wie der Beweis
> funktioniert weiß ich auch. Doch leider bringt mir das
> hier nichts, oder? Denn ich kann auch zeigen, dass n < n+1
> ist, doch der Grenzwert von [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] ist nicht
> Null.
> Oder habe ich hier einen Denkfehler?
Dein Argument ist sicher richtig.
Also meine Idee wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] ist ja ein Ausdruck der Form [mm] \bruch{\infty}{\infty}, [/mm] also kann man hierauf de L´Hospital anwenden. Hierbei gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{3^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{e^{n*ln(3)}}, [/mm] das sollte zum Ziel führen...
Viele Grüße
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Jetzt hab ich nochmal ein bisschen überlegt und glaub ich kapiert, wie du es gemeint hast ;)
Habs jetzt so gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+n^2}{3^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{n^2}{3^n} [/mm]
< [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{2^n}{3^n} [/mm] für n>=3
und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2* [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm]
wobei [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] gegen Null geht und somit lim 2*0 auch gegen Null.
Denke soweit ist das okay, oder?
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> Jetzt hab ich nochmal ein bisschen überlegt und glaub ich
> kapiert, wie du es gemeint hast ;) Habs jetzt so gemacht:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+n^2}{3^n}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{n^2}{3^n}[/mm]
> < [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{2^n}{3^n}[/mm] für n>=3
> und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2* [mm]\bruch{2^n}{3^n}[/mm]
> wobei [mm]\bruch{2^n}{3^n}[/mm] gegen Null geht und somit lim 2*0 auch gegen Null.
> Denke soweit ist das okay, oder?
Dies ist sehr elegant und mit dem blauen auch mathematisch vollkommen korrekt.
Gruß Dom
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:59 Mo 23.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> > Jetzt hab ich nochmal ein bisschen überlegt und glaub ich
> > kapiert, wie du es gemeint hast ;) Habs jetzt so gemacht:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+n^2}{3^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{n^2}{3^n}[/mm]
> > < [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{2^n}{3^n}[/mm]
> für n>=3
Das n müsste hier echt größer sein, abe ansonsten vollkommen korrekt
> > und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2*
> [mm]\bruch{2^n}{3^n}[/mm]
> > wobei [mm]\bruch{2^n}{3^n}[/mm] gegen Null geht und somit lim 2*0
> auch gegen Null.
> > Denke soweit ist das okay, oder?
>
> Dies ist sehr elegant und mit dem blauen auch mathematisch
> vollkommen korrekt.
>
> Gruß Dom
Viele Grüße
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