Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] a_{n}:= (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
[mm] b_{n}:= (1+\bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] konvergieren.
Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass die Grenzwerte beider Folgen übereinstimmen, d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] |
Hallo!
Vorweg damit keine bösen Meldungen kommen -> ich erwarte keine Lösung sondern eine Hilfestellung wie ich an die Aufgaben herangehen muss, um eine Lösung erarbeiten zu können.
Bitte um Lösungsansätze!
Vielen Dank!
lg
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Hallo,
Hinweis zur Aufgabe 2:
Wenn du gezeigt hast, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren, kannst du für [mm] b_n [/mm] folgendes anwenden:
[mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1}*\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
[/mm]
Betrachte nun den Grenzübergang und nutze die Grenzwertsätze. Ohne den zweiten Grenzwert zu berechnen sieht man dann, dass [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Es sei [mm]a_{n}:= (1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
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> [mm]b_{n}:= (1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
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> Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] konvergieren.
> Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass die Grenzwerte beider Folgen
> übereinstimmen, d.h. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
> Hallo!
>
> Vorweg damit keine bösen Meldungen kommen -> ich erwarte
> keine Lösung sondern eine Hilfestellung wie ich an die
> Aufgaben herangehen muss, um eine Lösung erarbeiten zu
> können.
> Bitte um Lösungsansätze!
>
> Vielen Dank!
>
> lg
Hallo,
der grobe Fahrplan kann folgender sein:
Zeige, dass
a wachsend ist
b fallend ist,
für jedes n gilt b>a,
die Differenz b-a gegen Null geht.
Gruß Abakus
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