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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz und Grenzwert
Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 So 24.11.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen sie den Grenzwert.

a) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]

b) [mm] 9/10*\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{10^n} [/mm]

Also meine Überlegungen:

a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht da.

[mm] \bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1) [/mm]

Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm] 3^n [/mm] viel schneller wächst. Als strebt der ganze Term gegen [mm] +\infty. [/mm] Nicht konvergent

b) Zuerst hab ich 9/10 in die summe gezogen. Dann steht hinter dem Summen zeichen [mm] 9/10 * 1/10^n[/mm]. Ist das dann gleich: [mm] 9/10^(n+1) [/mm]? Also strebt der term gegen null. Konvergent gegen null.

        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 So 24.11.2013
Autor: DieAcht

Hallo,

> Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und
> bestimmen sie den Grenzwert.
>  
> a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
>  
> b) [mm]9/10*\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{10^n}[/mm]
>  Also meine
> Überlegungen:
>  
> a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht
> da.
>  
> [mm]\bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1)[/mm]
>  
> Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm]3^n[/mm] viel schneller
> wächst. Als strebt der ganze Term gegen [mm]+\infty.[/mm] Nicht
> konvergent

Das ist Quark.

Das notwendige Kriterium einer Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC [/mm] ist gegeben, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.

Ihr hattet doch sicher Konvergenzkriterien eingeführt.
Benutze diese!

>  
> b) Zuerst hab ich 9/10 in die summe gezogen. Dann steht
> hinter dem Summen zeichen [mm]9/10 * 1/10^n[/mm]. Ist das dann
> gleich: [mm]9/10^(n+1) [/mm]? Also strebt der term gegen null.
> Konvergent gegen null.

Das Reinziehen bringt dir nichts.

Tipp: [mm] \frac{1}{10^n}=(\frac{1}{10})^n [/mm] und weiter mit der geometrischen Reihe.

Gruß
DieAcht


Bezug
        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 So 24.11.2013
Autor: reverend

Hallo bavarian,

nochmal zu Aufgabe a). Das ist wirklich Quatsch, was Du da machst.

> Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und
> bestimmen sie den Grenzwert.
>  
> a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
>  
> a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht
> da.
>  
> [mm]\bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1)[/mm]

Das steht da nicht. Was soll es außerdem aussagen, wenn Du eine Reihe nicht mit einem festen Wert, sondern mit einer Laufvariablen multiplizierst? Damit kriegt man jede Reihe irgendwie divergent, auch wenn sie es vorher nicht war.

> Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm]3^n[/mm] viel schneller
> wächst.

Na und? Dieser Teil stellt also eine Nullfolge dar. Das sagt noch nichts über die Reihe aus.

> Als strebt der ganze Term gegen [mm]+\infty.[/mm] Nicht
> konvergent

Nee, Unsinn.

Was Dir aber weiterhelfen kann, sind diese beide Tipps:

1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)}\right)=\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}\right)\;\;+\;\;\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}\right) [/mm]

2) [mm] \bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} \cdots\quad [/mm] Teleskopsumme!

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 So 24.11.2013
Autor: Marcel

Hallo reverend,


> 2) [mm]\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} \cdots\quad[/mm]
> Teleskopsumme!

noch deutlicher:

    MBTeleskopsumme

Da steht ja so ein tolles Beispiel... ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 24.11.2013
Autor: reverend

Hallo Marcel,

> > 2) [mm]\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} \cdots\quad[/mm]
> > Teleskopsumme!
>  
> noch deutlicher:
>  
> MBTeleskopsumme
>  
> Da steht ja so ein tolles Beispiel... ;-)

Ja, aber da gehts doch um $k$ und gar nicht um $n$? [haee]

:-)
rev

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:32 So 24.11.2013
Autor: Marcel

Hallo reverend,

> Hallo Marcel,
>  
> > > 2) [mm]\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} \cdots\quad[/mm]
> > > Teleskopsumme!
>  >  
> > noch deutlicher:
>  >  
> > MBTeleskopsumme
>  >  
> > Da steht ja so ein tolles Beispiel... ;-)
>  
> Ja, aber da gehts doch um [mm]k[/mm] und gar nicht um [mm]n[/mm]? [haee]

jetzt verwirr' die Leute hier doch nicht so. [grins]

( Die von Dir erwähnte Scherzfrage kommt ja in durchaus ähnlicher Weise
bei manchen - ernstgemeint - auf! Aber wenn Du willst, kann ich es Dir
auch nochmal erklären... nur zur Sicherheit. ;-) )

Gruß,
  Marcel

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