Konvergenz uneigentl. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 06.03.2008 | | Autor: | success |
Hallo,
es geht darum das bestimmte uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] (*) auf Konvergenz zu untersuchen.
Mein Ansatz ist es in zwei Integrale aufzusplitten, damit ich zwei Integrale mit einer "uneigentlichen Grenze" habe:
(*) = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}
[/mm]
Und jetzt die uneigentlichen Grenzen durch Variablen zu ersetzen und den Limes zu verwenden:
(*) = [mm] \limes_{a\rightarrow 0} (\integral_{a}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx}) +\limes_{b\rightarrow\infty}(\integral_{1}^{b}{\bruch{sin(x)}{x} dx})
[/mm]
Waere die Stammfunktion von [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] einfach bestimmtbar wuerde ich diese jetzt hinschreiben, die Grenzen einsetzen und schauen ob die Limiten existieren.
Aber wie gehe ich hier vor, wo das nicht der Fall ist?
Das Maj'krit. scheint auch nicht zu greifen, da zwar z.B. im Integral von 1 bis [mm] \infty \bruch{sin(x)}{x} \le [/mm] 1, aber ich kann [mm] \integral_{1}^{\infty}{1 dx} [/mm] auch nicht bestimmen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 06.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> es geht darum das bestimmte uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm] (*) auf
> Konvergenz zu untersuchen.
>
> Mein Ansatz ist es in zwei Integrale aufzusplitten, damit
> ich zwei Integrale mit einer "uneigentlichen Grenze" habe:
>
> (*) = [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm]
>
> Und jetzt die uneigentlichen Grenzen durch Variablen zu
> ersetzen und den Limes zu verwenden:
>
> (*) = [mm]\limes_{a\rightarrow 0} (\integral_{a}^{1}{\bruch{sin(x)}{x} dx}) +\limes_{b\rightarrow\infty}(\integral_{1}^{b}{\bruch{sin(x)}{x} dx})[/mm]
>
> Waere die Stammfunktion von [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] einfach
> bestimmtbar wuerde ich diese jetzt hinschreiben, die
> Grenzen einsetzen und schauen ob die Limiten existieren.
> Aber wie gehe ich hier vor, wo das nicht der Fall ist?
>
> Das Maj'krit. scheint auch nicht zu greifen, da zwar z.B.
> im Integral von 1 bis [mm]\infty \bruch{sin(x)}{x} \le[/mm] 1, aber
> ich kann [mm]\integral_{1}^{\infty}{1 dx}[/mm] auch nicht
> bestimmen.
>
Hallo,
ich glaube, das geht mit einer einfachen Abschätzung. Die Funktion y=sin(x) bildet mit der x-Achse Flächenstücke, die abwechselnd oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen, kongruent sind und sich deshalb nach jeder vollen Periode gegenseitig aufheben.
Der Faktor 1/x sorgt nun noch dafür, dass der Inhalt dieser Flächenstücke von Nullstelle zu Nullstelle beständig schrumpft.
Da die Flächen abwechselnd positiv und negativ zählen, ist das Integral also die Summe
[mm] A_1-A_2+A_3-A_4+A_5- [/mm] ..... (ich bezeichne damit die Teilflächen von Nullstelle zu Nullstelle).
Diese Summe ist einerseits größer als Null, denn sie lässt sich schreiben als
[mm] (A_1-A_2)+(A_3-A_4)+(A_5-A_6)+( [/mm] .....) , und wegen der abnehmenden Flächenbeträge sind die Differenzen in den Klammern alle positiv.
Andererseits ist die Summen kleiner als [mm] A_1 [/mm] ,
denn sie ist auch
[mm] A_1+(-A_2+A_3)+(-A_4+A_5)+(-A_6+A_7) [/mm] .....
Sag mal, mir fällt gerade auf: ist das nicht einfach das Leibnizkiterium???
Viele Grüße
Abakus
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 06.03.2008 | | Autor: | success |
Gute Erklärung, leuchtet mir alles ein.
Wie bestimme ich den Wert des Integrals?
Hab ich in meinem ersten Beitrag zu erwaehnen vergessen.
Laut CAS ist es pi/2.
|
|
|
| |
|
Solche Integrale löse ich momentan haufenweise, das paßt ja :)
Also, folgendes Integral:
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] $
Es fällt auf: Die Funktion ist gerade, das heißt das Integral ist halb so groß wie ein Integral von minus unendlich bis plus unendlich. Betrachte im folgendes dieses Integral von minus unendlich bis plus unendlich.
Übertrage das Problem nach C und berechne die Singularitäten von f. Offenbar ist 0 hebbare Singularität, also das Residuum null. Nach dem Residuensatz ist dann das gesamte Integral, also auch seine Hälfte gleich null.
Das wäre eine mathematisch einwandfreie Lösung, wenn man vor etwas Funktionentheorie nicht zurückschreckt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Solche Integrale löse ich momentan haufenweise, das paßt ja
> :)
>
> Also, folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm]
>
> Es fällt auf: Die Funktion ist gerade, das heißt das
> Integral ist halb so groß wie ein Integral von minus
> unendlich bis plus unendlich. Betrachte im folgendes dieses
> Integral von minus unendlich bis plus unendlich.
>
> Übertrage das Problem nach C und berechne die
> Singularitäten von f. Offenbar ist 0 hebbare Singularität,
> also das Residuum null. Nach dem Residuensatz ist dann das
> gesamte Integral, also auch seine Hälfte gleich null.
>
> Das wäre eine mathematisch einwandfreie Lösung, wenn man
> vor etwas Funktionentheorie nicht zurückschreckt.
auch, wenn Du das vll. nicht sugerieren wolltest:
Die anderen Lösungen sind mathematisch auch einwandfrei 
Ob das hier eleganter ist oder nicht, hängt auch von den jeweiligen Kenntnissen, die man in der Funktionentheorie hat, ab. Wenngleich Deine Aussage natürlich nicht zwingend impliziert, dass die anderen Lösungen mathematisch nicht einwandfrei sind.
Ich selbst bevorzuge die Variante mit Fubini. Wenn man das mit Fubini macht, so muss man sich nur im Klaren sein:
[mm] $\int_0^{\infty} {\frac{\sin(x)}{x}dx}$ [/mm] existiert nicht im Lebesgueschen Sinne, aber für jedes $R > 0$ existiert [mm] $\int_{0}^R {\frac{\sin(x)}{x}dx}$ [/mm] (sowohl im Riemann- als auch Lebesgue-Sinne) und damit erhält man dann auch wegen der Gleichheit der Riemann- und Lebesgue-Integrale [mm] $\int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}=\int_{0}^R {\frac{\sin(x)}{x}dx}$ [/mm] (die Notation linkerhand soll andeuten, dass das Integral im Lebesgue-Sinne gemeint ist und [mm] $\lambda$ [/mm] ist das Lebesgue-Maß auf [mm] $\IR$), [/mm] dass dann das Integral [mm] $\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}$ [/mm] im Riemann-Sinne existiert und
[mm] $\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}=\lim_{R \to \infty} \int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}$
[/mm]
Aus den Überlegungen im obigen Link zur pdf-Datei folgt dann:
[mm] $\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}=\lim_{R \to \infty} \int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Sa 08.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> > Solche Integrale löse ich momentan haufenweise, das paßt ja
> > :)
> >
> > Also, folgendes Integral:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm]
> >
> > Es fällt auf: Die Funktion ist gerade, das heißt das
> > Integral ist halb so groß wie ein Integral von minus
> > unendlich bis plus unendlich. Betrachte im folgendes dieses
> > Integral von minus unendlich bis plus unendlich.
> >
> > Übertrage das Problem nach C und berechne die
> > Singularitäten von f. Offenbar ist 0 hebbare Singularität,
> > also das Residuum null. Nach dem Residuensatz ist dann das
> > gesamte Integral, also auch seine Hälfte gleich null.
> >
> > Das wäre eine mathematisch einwandfreie Lösung, wenn man
> > vor etwas Funktionentheorie nicht zurückschreckt.
>
> auch, wenn Du das vll. nicht sugerieren wolltest:
> Die anderen Lösungen sind mathematisch auch einwandfrei
Hallo, was heißt hier "auch einwandfrei"? Die hier vorgestellte Lösung ist es schon mal nicht, weil die Lösung eben nicht Null ist. Ich kann aber nicht sagen, wo hier der Pferdefuß ist, weil mir der theoretische Hintergrund fehlt.
Viele Grüße
Abakus
> Ob das hier eleganter ist oder nicht, hängt auch von den
> jeweiligen Kenntnissen, die man in der Funktionentheorie
> hat, ab. Wenngleich Deine Aussage natürlich nicht zwingend
> impliziert, dass die anderen Lösungen mathematisch nicht
> einwandfrei sind.
>
> Ich selbst bevorzuge die Variante mit Fubini. Wenn man das
> mit Fubini macht, so muss man sich nur im Klaren sein:
> [mm]\int_0^{\infty} {\frac{\sin(x)}{x}dx}[/mm] existiert nicht im
> Lebesgueschen Sinne, aber für jedes [mm]R > 0[/mm] existiert
> [mm]\int_{0}^R {\frac{\sin(x)}{x}dx}[/mm] (sowohl im Riemann- als
> auch Lebesgue-Sinne) und damit erhält man dann auch wegen
> der Gleichheit der Riemann- und Lebesgue-Integrale [mm]\int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}=\int_{0}^R {\frac{\sin(x)}{x}dx}[/mm]
> (die Notation linkerhand soll andeuten, dass das Integral
> im Lebesgue-Sinne gemeint ist und [mm]\lambda[/mm] ist das
> Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm]), dass dann das Integral [mm]\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}[/mm]
> im Riemann-Sinne existiert und
> [mm]\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}=\lim_{R \to \infty} \int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}[/mm]
>
> Aus den Überlegungen im obigen Link zur pdf-Datei folgt
> dann:
> [mm]\int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}dx}=\lim_{R \to \infty} \int_0^R {\frac{\sin(x)}{x}d\lambda(x)}=\frac{\pi}{2}[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hi,
> >
> > > Solche Integrale löse ich momentan haufenweise, das paßt ja
> > > :)
> > >
> > > Also, folgendes Integral:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm]
> > >
> > > Es fällt auf: Die Funktion ist gerade, das heißt das
> > > Integral ist halb so groß wie ein Integral von minus
> > > unendlich bis plus unendlich. Betrachte im folgendes dieses
> > > Integral von minus unendlich bis plus unendlich.
> > >
> > > Übertrage das Problem nach C und berechne die
> > > Singularitäten von f. Offenbar ist 0 hebbare Singularität,
> > > also das Residuum null. Nach dem Residuensatz ist dann das
> > > gesamte Integral, also auch seine Hälfte gleich null.
> > >
> > > Das wäre eine mathematisch einwandfreie Lösung, wenn man
> > > vor etwas Funktionentheorie nicht zurückschreckt.
> >
> > auch, wenn Du das vll. nicht sugerieren wolltest:
> > Die anderen Lösungen sind mathematisch auch einwandfrei
>
> Hallo, was heißt hier "auch einwandfrei"? Die hier
> vorgestellte Lösung ist es schon mal nicht, weil die Lösung
> eben nicht Null ist. Ich kann aber nicht sagen, wo hier der
> Pferdefuß ist, weil mir der theoretische Hintergrund
> fehlt.
> Viele Grüße
> Abakus
ja, stimmt, so genau hatte ich mir diese Antwort gar nicht durchgelesen, muss ich gestehen; d.h. die Behauptung, dass das Integral den Wert $0$ hat, ist mir gänzlich nicht aufgefallen. Was sicherlich gilt:
[mm] $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx$
[/mm]
wobei ich nun einfach davon ausgehe, dass Dir klar ist, warum das Integral linkerhand existiert. Diese Gleichheit ergibt sich, weil $x [mm] \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] eine gerade Funktion ist ($g$ heißt gerade, wenn $g(-x)=g(x)$ für alle $x$).
D.h. der Fehler oben kann nur die Behauptung sein, dass [mm] $\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx=0$ [/mm] behauptet wird. Vielmehr wird gelten:
[mm] $\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx=\pi$
[/mm]
Das ist Dir sicherlich klar. Entschuldige, dass ich die Antwort nur so "schlampig" überflogen habe. Aber ich denke, Dir ist auch klar, dass die Behauptung [mm] $\int_{-\infty}^\infty...=0$ [/mm] nicht stimmen kann. Dazu brauchst Du auch keine Kenntnisse der Funktionentheorie
Vll. will ImperatoM das ja nochmal korrigieren?
@ ImperatoM:
Die Anwendung des Residuensatz (in der mir bekannten Version: Satz 33.3, Skript unten) ist ja eh schon "etwas problematisch". Da steht etwas von einem geschlossenen Pfad, der in einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G [mm] \backslash [/mm] A$ enthalten sein soll...
Wie willst Du das konkret auf das Intervall [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] anwenden? Wenn Du meinst mittels $[-M,M]$ bei $M [mm] \to \infty$, [/mm] dann mach' Dir klar, was das heißt, über einen geschlossenen Pfad dieser Art zu integrieren. Dann läufst Du nämlich quasi einmal von $-M$ nach $M$ und integrierst, und danach läufst Du wieder von $M$ nach $-M$ zurück und integrierst, also insgesamt rechnest Du sowas:
[mm] $\int_{-M}^M f(t)dt+\int_{M}^{-M}f(t)dt=\int_{-M}^{-M} [/mm] f(t)dt=0$
Das ist nicht wirklich hilfreich
Denn: Der Pfad, über den man integriert, muss ja geschlossen sein nach Voraussetzungen des Residuensatzes. Du wolltest aber quasi nur von $-M$ nach $M$ laufen und integrieren ($also [mm] \int_{-M}^M$ [/mm] betrachten), aber dann hat man das Problem, dass der zugehörige Pfad [mm] $\gamma$ [/mm] nicht mehr geschlossen ist, also der Residuensatz gar nicht angewendet werden kann.
Alternativ:
Du müßtest versuchen, auf Satz 33.7 zurückzugreifen und dabei erst mal zeigen, dass die Voraussetzungen dafür erfüllt sind usw.
Aber ich denke, das wird Dir hier nicht gelingen, da die Stelle $0$, wie Du bereits richtig erkannt hast, eine hebbare Singularität ist.
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:48 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Marcel |
siehe die Mitteilungen ab der von Abakus
|
|
|
|
