Konvergenz untersuchen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Berechnen Sie eine Lösung x > 0 von tan(x) = x durch Anwendung der folgenden Iterationsverfahren . Untersuchen Sie zuvor auf Konvergenz!
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] tan(x_{k}) [/mm] |
Hallo. Kann mir jemand sagen, wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll?
Wäre sehr nett.
Danke schonmal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Do 30.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie eine Lösung x > 0 von tan(x) = x durch
> Anwendung der folgenden Iterationsverfahren . Untersuchen
> Sie zuvor auf Konvergenz!
>
> [mm]x_{k+1}[/mm] = [mm]tan(x_{k})[/mm]
> Hallo. Kann mir jemand sagen, wie ich bei der Aufgabe
> vorgehen soll?
> Wäre sehr nett.
>
> Danke schonmal.
>
> LG
Hallo,
ich wollte mich hier eigentlich raushalten, weil ich in der Theorie nicht sattelfest bin.
Da aber seit einer halben Stunde niemand reagiert, melde ich mich doch einmal.
Wähle für [mm] x_0 [/mm] einen Startwert in der Nähe der vermuteten Lösung.
Das Zeichnen der Graphen von y=x und y=tan x lässt vermuten, dass eine erste Lösung zwischen 0 und [mm] \pi/4 [/mm] liegt.
Was die Konvergenz betrifft, so glaube ich mich zu erinnern, dass irgendein Term kleiner als 1 sein muss. Schau mal in deine Vorlesungsmitschrift.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
Also ich schreibe dir mal auf, was ich zu der Aufgabe in meiner Mitschrift habe.
[mm] \Phi(x)=tan(x)=x
[/mm]
Kontrahierend: [mm] \Phi [/mm] kontrahiert auf I [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I gilt [mm] |\Phi'| \le [/mm] k<1
Konvergenz: M sei abgeschlossen, [mm] \Phi:M \to [/mm] M kontrahierend.Dann existiert genau ein Fixpunkt x* von [mm] \Phi [/mm] in M.
Für jeden Startpunkt [mm] x_{0}\inM [/mm] konvergiert die Iterationsfolge [mm] (x_{k})_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{k+1}=\Phi(x_{k}) [/mm] gegen x*.
[mm] \Phi' [/mm] = [mm] (tan(x))'=(\bruch{sin(x)}{cos(x)})'=\bruch{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=1+\bruch{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=1+tan^{2}(x)
[/mm]
[mm] |1+tan^{2}(x)| [/mm] muss <1 sein, dazu müsste [mm] tan^{2}(x)<0 [/mm] sein. Dem ist aber nicht so [mm] \Rightarrow [/mm] nicht kontrahierend.
heißt das jetzt, das die Iterationsfolge nicht konvergiert, da sie nicht kontrahiert?
Und woran sehe ich, dass M ( was auch immer das ist) abgeschlossen ist?
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Banachscher Fixpunktsatz
Vorraussetzungen:
1) Def-Menge ist abgeschlossene, nicht leere Teilmenge eines Banachraumes
2) f(x) ist eine Selbstabbildung, d.h. alle Werte ausm Defbereich landen wieder innerhalb des Intervalls vom Defbereich
3) f(x) ist eine Kontraktion, dh lipschitz-stetig mit Lipschitz konstante kleiner als 1 (zu zeigen mittels Mittelwertsatz bzw. Schrankensatz)
Wenn diese Vorr. erfüllt sind konvergiert die Iteration gegen ein x* innerhalb des Def-Bereich-Intervalls
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
Also kann ich doch einfach die Ableitung bilden und gucken, ob das was da rauskommt kleiner als 1 ist. Wenn das so ist, dann konvergiert es, wenn nicht dann nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 30.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn nicht, dann nicht ist so allgemein falsch.
und wenn ja, dann muss die Iteration auch in dem Gebiet landen, wo weitr f'<1
Bei tan guck dir das mal auf der Kurve an, warum das div. muss. weil eben die ableitung ueberall >0
Gruss leduart
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$ [mm] \Phi' [/mm] $ = $ [mm] (tan(x))'=(\bruch{sin(x)}{cos(x)})'=\bruch{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=1+\bruch{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=1+tan^{2}(x) [/mm] $
erinner dich an das Additionstheorem:
sin²(x)+cos²(x) = 1
damit solltest du auf einen term kommen, der es dir sehr leicht macht eine kontraktion zu zeigen.
Zu zeigen, dass eine Menge abgeschlossen ist ist ein weitläufiges thema, da solltest du genauer nachfragen.
Du kannst jedoch davon ausgehen, dass [mm] \IR [/mm] abgeschlossen ist, das brauchst du dann nicht mehr beweisen ;)
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