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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Sa 01.07.2006 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | | Die Folge [mm] (x_n) \subset \IR [/mm] sei zu gegebenem [mm] x_0\in\IR [/mm] definiert über [mm] x_{n+1}=cos(x_n). [/mm] Zeigen Sie, dass diese Folge für jedes beliebige [mm] x_0 [/mm] konvergiert. |
Sorry, dass ich mit dieser einfachen Frage nerve... aber irgendwie komm ich nicht weiter.
Meine Idee:
Banachschen Fixpunktsatz anwenden.
Betrachte [mm] \Phi [/mm] : [mm] [-1,1]\to [/mm] [-1,1] mit [mm] x\mapsto [/mm] cos x und zeige, dass [mm] \Phi [/mm] (stark) kontraktiv.
Das letzte gelingt mir irgendwie nicht, hilft mir jemand?
Außerdem: Ich meine mich zu erinnern, dass cos lipschitz mit Konstante 1 ist, weiß aber den Beweis dafür nicht mehr, kennt den einer?
Danke schonmal
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Hallo g_hub,
> Banachschen Fixpunktsatz anwenden.
> Betrachte [mm]\Phi[/mm] : [mm][-1,1]\to[/mm] [-1,1] mit [mm]x\mapsto[/mm] cos x und
> zeige, dass [mm]\Phi[/mm] (stark) kontraktiv.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Das letzte gelingt mir irgendwie nicht, hilft mir jemand?
> Außerdem: Ich meine mich zu erinnern, dass cos lipschitz
> mit Konstante 1 ist, weiß aber den Beweis dafür nicht mehr,
> kennt den einer?
Das folgt aus dem Mittelwertsatz und der Tatsache das die Ableitung des cos kleiner 1 ist. Der Mittelwertsatz und die Abschätzung der Ableitung hilft Dir auch beim Auffinden der richtigen L-Konstante. (Denn 1 reicht ja noch nicht.)
Alles klar?
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 01.07.2006 | | Autor: | g_hub |
Irgendwas stimmt noch nicht....
wenn ich einfach abschätze
|cos' x|=|-sin x|=|sin [mm] x|\le [/mm] sin 1<1
kann ich dann einfach
[mm] \bruch{|cos x - cos y|}{|x-y|}\le [/mm] sin 1
schließen?
Wenn ja, wofür brauche ich dann den MWS?
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Hallo g_hub,
> Irgendwas stimmt noch nicht....
> wenn ich einfach abschätze
> |cos' x|=|-sin x|=|sin [mm]x|\le[/mm] sin 1<1
> kann ich dann einfach
> [mm]\bruch{|cos x - cos y|}{|x-y|}\le[/mm] sin 1
> schließen?
> Wenn ja, wofür brauche ich dann den MWS?
Na damit Du das einfach schließen kannst benutzt Du den MWS:
[mm] f(x)-f(y)=f'(\xi)*(x-y)
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|*|x-y|\le sup|f'(\xi)|*|x-y|
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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