Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 30.11.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Zu jeder der angegebenen Folgen [mm] (a_n) [/mm] finde man [mm] \forall \epsilon [/mm] ein [mm] N(\epsilon), [/mm] so dass [mm] \forall n>=N(\epsilon) [/mm] die Ungleichung [mm] |a_n| <\epsilon [/mm] gilt.
1. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{n^3+n^2+2}
[/mm]
2. [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n*\bruch{n}{n^2+1} [/mm] |
zu [mm] 1.)\limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n^3+n^2+2} [/mm] = 0
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon [/mm] <=> [mm] |a_n|<\epsilon [/mm] (da a=0)
also [mm] \bruch{n}{n^3+n^2+2}<\epsilon.
[/mm]
Nun habe umgestellt und erhalte: [mm] n^2+n+\bruch{2}{n}>\bruch{1}{\epsilon} [/mm] doch wie geht es nun weiter.
Es muß ja nachher ein einzelnes n auf der linken Seite stehen wo ich dann das [mm] N(\epsilon) [/mm] auf der rechten Seite der Ungleichung nur noch ablesen brauch. Habe schon einiges ausprobiert, auch mit konkreten Zahlen aber irgendiwe komme ich da nicht auf ein konkretes Ergebnis für [mm] N(\epsilon).
[/mm]
zu 2.) Da ist der Grenzwert ebenfalls 0. Also wieder [mm] |a_n|<\epsilon. [/mm] Wegen Betrag brauche ich nur [mm] \bruch{n}{n^2+1} [/mm] betrachten also [mm] \bruch{n}{n^2+1} <\epsilon [/mm] und nach umstellen erhalte ich [mm] n+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{\epsilon}
[/mm]
Da würde ich [mm] N(\epsilon)=[\bruch{1}{\epsilon}] [/mm] (in Gauß-Klammern)
angeben.
Doch über folgendes stolpere ich. Wenn ich konkrete Werte ausrechne:
[mm] a_1= [/mm] -0,5
[mm] a_2= [/mm] 0,4
[mm] a_3= [/mm] -0,3
[mm] a_4= [/mm] 0,24
[mm] a_5= [/mm] -0,19
Jetzt gebe ich mir [mm] \epsilon= [/mm] 0,29 (und =0,31) vor. [mm] N(\epsilon) [/mm] müsste dann also N=3 (und N=2) aber wenn ich das ausrechne kommt bei beiden Werten N=3 raus. Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank schon mal.
Gruß
vicky
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> Zu jeder der angegebenen Folgen [mm](a_n)[/mm] finde man [mm]\forall \epsilon[/mm]
> ein [mm]N(\epsilon),[/mm] so dass [mm]\forall n>=N(\epsilon)[/mm] die
> Ungleichung [mm]|a_n| <\epsilon[/mm] gilt.
>
> 1. [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{n^3+n^2+2}[/mm]
>
> 2. [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^n*\bruch{n}{n^2+1}[/mm]
Hallo,
>
> also [mm]\bruch{n}{n^3+n^2+2}<\epsilon.[/mm]
> Nun habe umgestellt und erhalte:
> [mm]n^2+n+\bruch{2}{n}>\bruch{1}{\epsilon}[/mm] doch wie geht es nun
> weiter.
Du mußt ja gar nicht die Gleichung lösen, sondern Du willst sie nur abschätzen.
[mm] \bruch{n}{n^3+n^2+2} =\bruch{1}{n^2+n+\bruch{2}{n}}<\bruch{1}{n}
[/mm]
> zu 2.)
> Jetzt gebe ich mir [mm]\epsilon=[/mm] 0,29 (und =0,31) vor.
> [mm]N(\epsilon)[/mm] müsste dann also N=3 (und N=2) aber wenn ich
> das ausrechne kommt bei beiden Werten N=3 raus. Wo liegt
> mein Fehler?
Beim [mm] Rechnen:\bruch{1}{0.29}\approx [/mm] 3,4 und [mm] \bruch{1}{0.31}\approx [/mm] 3,2.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Angela!
Ist das nicht etwas sehr grob abgeschätzt?
Ich würde hier gegenüber $... \ < \ [mm] \bruch{1}{n^{\red{2}}}$ [/mm] abschätzen (um auch noch etwas den Bezug zur Ausgangsaufgabe aufrecht zu erhalten).
Aber das ist wohl Geschmackssache, oder? 
Gruß
Loddar
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> Guten Morgen Angela!
>
>
> Ist das nicht etwas sehr grob abgeschätzt?
Klar!
Das war die Holzhackermethode!!!
>
> Ich würde hier gegenüber [mm]... \ < \ \bruch{1}{n^{\red{2}}}[/mm]
> abschätzen (um auch noch etwas den Bezug zur
> Ausgangsaufgabe aufrecht zu erhalten).
>
> Aber das ist wohl Geschmackssache, oder?
Zum einen das, und mein Mann würde sagen: "Typisch..."
Zum anderen wollte ich zeigen, daß man sich manchmal das Leben auch ein wenig leicht machen kann, da in der Aufgabe nicht das kleinste und schönste N gefragt ist, sondern einfach nur irgendeins von Wühltisch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Fr 01.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
danke schon mal für die Antwort.
zu 1.)
> Du mußt ja gar nicht die Gleichung lösen, sondern Du willst
> sie nur abschätzen.
>
> [mm]\bruch{n}{n^3+n^2+2} =\bruch{1}{n^2+n+\bruch{2}{n}}<\bruch{1}{n}[/mm]
>
Und meine Abschätzung kann ich ja dann auch so erklären: [mm] \bruch{1}{n^2+n+\bruch{2}{n }} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^2 + n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{n^2}<\epsilon [/mm] <=> [mm] n^2 [/mm] > [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] <=> [mm] n>\bruch{1}{\sqrt\epsilon} [/mm] wenn ich jetzt den Tip von Loddar mit einbeziehe.
Kann ich dann jetzt sagen das [mm] N(\epsilon) [/mm] = [mm] [\bruch{1}{\sqrt\epsilon}]? [/mm]
zu 2.)
> > Jetzt gebe ich mir [mm]\epsilon=[/mm] 0,29 (und =0,31) vor.
> > [mm]N(\epsilon)[/mm] müsste dann also N=3 (und N=2) aber wenn ich
> > das ausrechne kommt bei beiden Werten N=3 raus. Wo liegt
> > mein Fehler?
>
> Beim [mm]Rechnen:\bruch{1}{0.29}\approx[/mm] 3,4 und
> [mm]\bruch{1}{0.31}\approx[/mm] 3,2.
>
Ja stimmt da scheint sich ein Rechenfehler eingeschlichen zu haben. Danke für den Hinweis.
Für [mm] N(\epsilon) [/mm] erhalte ich hier [mm] [\bruch{1}{\epsilon}]. [/mm] Kann das sein?
[mm] |(-1)^n*\bruch{n}{n^2+1}-0|<\epsilon [/mm]
da Absolutbetrag immer positiv brauche ich nur folgendes betrachten:
[mm] \bruch{n}{n^2+1}<\epsilon <=>\bruch{1}{n+\bruch{1}{n}}<\epsilon<=>n+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{\epsilon}
[/mm]
<= [mm] n>\bruch{1}{\epsilon} [/mm] also [mm] N(\epsilon)=[\bruch{1}{\epsilon}]
[/mm]
Bin da etwas unsicher. Wäre schön wenn jemand sich das mal ansehen und kommentieren könnte ob das so i.O ist oder nicht.
Vielen Dank
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo vicky!
> Kann ich dann jetzt sagen das [mm]N(\epsilon)[/mm] = [mm][\bruch{1}{\sqrt\epsilon}]?[/mm]
Wenn Du schon mit der Gauß-Klammer arbeitest, musst du daraus aber auch [mm] $N(\varepsilon) [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} \ \right] [/mm] \ [mm] \red{+1}$ [/mm] machen, da die Gauß-Klammer ja abrundet.
> zu 2.)
> Für [mm]N(\epsilon)[/mm] erhalte ich hier [mm][\bruch{1}{\epsilon}].[/mm]
> Kann das sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]|(-1)^n*\bruch{n}{n^2+1}-0|<\epsilon[/mm]
> da Absolutbetrag immer positiv brauche ich nur folgendes betrachten:
> [mm]\bruch{n}{n^2+1}<\epsilon <=>\bruch{1}{n+\bruch{1}{n}}<\epsilon<=>n+\bruch{1}{n}>\bruch{1}{\epsilon}[/mm]<= [mm]n>\bruch{1}{\epsilon}[/mm] also
> [mm]N(\epsilon)=[\bruch{1}{\epsilon}][/mm]
Hier würde ich das andersherum aufschreiben: erst abschätzen, bevor du mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] beginnst:
[mm] $\bruch{n}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+\bruch{1}{n}} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] etc.
Auch hier bei der Gauß-Klammer den Wert noch um $1_$ erhöhen ...
Ich selber würde es so stehen lassen: [mm] $N(\varepsilon) [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 01.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
danke für die Antwort. Noch ne kleine Frage am Rande. Warum muß ich +1 bei der ersten Lösung anfügen? Ich weiß das die Gauß-Klammern abrunden aber mir fehlt da noch so ein bißchen das Verständnis. Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Vielen Dank
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vicky!
Mit [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] ist ja immer eine (natürliche) Mindest-Zahl mit $n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] N(\varepsilon)$ [/mm] gesucht, ab dessen Folgenglied [mm] $a_n$ [/mm] alle weiteren Glieder innerhalb der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] liegen.
Das heißt, es handelt sich dabei um die nächst-größere Zahl.
Gruß
Loddar
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