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Konvergenz von Folgen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich weiß nicht wie manzeigt, dass die Folge [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] gegen 0 konvergiert.
Das Abschätzen mit 1/n kann man nicht in diesem Fall.
Eine andere Möglichkeit habe ich bis jetzt nicht gefunden.

Kannst Du mir bei dem Problem helfen?

Gruss

Igor

        
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Konvergenz von Folgen: epsilon-Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Mi 20.06.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Igor!


Verwende das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] der Konvergenz:   [mm] $\forall \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists n\ge N_0 [/mm] \ : \ [mm] \left|a_n-a\right|<\varepsilon$ [/mm]


Für Deine Aufgabe heißt das:   [mm] $\left| \ \bruch{1}{\wurzel{n}}-0 \ \right| <\varepsilon$ [/mm]

Dies nun nach $n \ > \ [mm] N_0 [/mm] \ = \ [mm] N(\varepsilon) [/mm] \ = \ ... $ umformen.


Gruß vom
Roadrunner


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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

Dann würde es so aussehen:

zu jedem Epsilon gibt es ein [mm] N(\varepsilon), [/mm] so dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}<\bruch{1}{\wurzel{N(\varepsilon)}}\ldots [/mm] (wie muss man hier weiter [mm] abschaetzen?)\ldots<\varepsilon [/mm]

vielleicht irgenwie mit  1< [mm] \wurzel{\bruch{1}{N(\varepsilon)}}*\varepsilon? [/mm]

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Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 20.06.2007
Autor: leduart

Hallo
du kannst doch ganz konkret zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N angeben, so dass [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] für n>N kleiner als [mm] \varepsilon [/mm]
ist! Vors ist: n>N folgt [mm] \wurzel{n}>\wurzel{N} [/mm] soviel muss man über wurzel wissen.

Gruss leduart.

Bezug
                                
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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

Hallo leduart,

ich wollte den Beweis formal aufschreiben , über die Epsilontik.

Geht das?



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Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mi 20.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Den Beweis formal richtig aufschreiben, dazu musst du doch gerade zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N angeben.
weisst du denn jetzt ein N zu jedem [mm] \varepsilon [/mm]
und wenn die Wurzeln größer werden, dann natürlich die Kehrwerte kleiner, das hab ich vorrausgesetzt!
Gruss leduart

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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

Habe ich etwa bei meiner Formulierung Fehler gemacht? Wenn ja , wo ?

Wie kann man explizit zu jedem Epsilon ein N finden? Da gibt es doch sehr viele Möglichkeiten, oder?

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Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Mi 20.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Ja, das was du geschrieben hast ist kein Beweisansatz, denn der Beweis besteht genau darin ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] zu finden!

Wenn du viele Möglichkeiten hast ein N zu finden, nimm eine davon. klar ist, wenn du ein N1 gefunden hast ist auch N2=10N1 und N3=100N1 usw.  Möglchkeiten. aber eins musst du angeben!
Gruss leduart

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Konvergenz von Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:17 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

Leduart, danke schön für den Tipp. Ich werde mich nochmal hinsetzen und genauer das mit dem Finden zu jedem Epsilon ein N anschauen.




P.S: Ich habe mit der " Formulierung" nicht den Beweisansatz, sondern die Formulierung über die Wurzeln...  gemeint

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Konvergenz von Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 20.06.2007
Autor: Igor1

ich weiss , dass aus n>N folgt dass auch die Wurzel größer wird. Ich habe doch die Kehrwerte von Wurzeln gemeint

Gruss

Igor

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