Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
vielen vielen Dank, jetzt hab ich es verstanden und kann es auf die übrigen Aufgaben übertragen!
Meine (hoffentlich!) vorerst letzte Frage zu einer Aufgabe ist:
"Konstruieren Sie eine Folge, die den Kreisumfang approximiert"
Wie funktioniert das?
Ich weis nur, dass approximieren "annähern" heißt, aber wie erstelle ich eine Folge für einen Kreisumfang?
Liebe Grüße,
Kiara
PS. Echt ein tolles Forum, ich werde es aufjedenfall weiter empfehlen und oft besuchen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 04.04.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du kannst z.B. versuchen, den kreis durch einbeschriebene, regelmäßige Vielecke anzunähern. Diese Vielecke bestehen aus lauter kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, d.h. ihr Umfang läßt sich als Funktion des Winkels an Dreiecksspitze errechnen. Läßt du die Zahl der Vielecke gegen [mm] \infty [/mm] gehen, hast du eine Näherung für den Kreisumfang.
Noch besser ist es den Kreis sowohl durch ein, als auch durch umbeschriebene Vileecke anzunähern, dann hast du obere und untere Schranken für den Kreisumfang.
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Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die Theorie die dahinter steht habe ich jetzt verstanden, doch könnten Sie mir einfach mal du Aufgabe rechnen? Da ich die Vorgehensweise nicht weis.
Ich denke, dass man die fertige Aufgabe dann besser nachvollziehen kann.
Ich wäre echt dankbar dafür.
Gruß Kiara
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> Die Theorie die dahinter steht habe ich jetzt verstanden,
> doch könnten Sie mir einfach mal du Aufgabe rechnen? Da
> ich die Vorgehensweise nicht weis.
> Ich denke, dass man die fertige Aufgabe dann besser
> nachvollziehen kann.
Hallo,
so funktioniert das Forum nicht.
Du sollst die sein, die rechnet.
Hier sind viele Leute recht hilfsbereit, und sie würden Dir sicher helfen an dem Punkt, an dem Du nicht weiterkommst.
(Falls es Dir lediglich um die Lösung geht: ich bin mir sicher, daß Du diese Konstruktion irgendwo in der unermeßlichen Weite des Internets finden kannst.)
Fang doch einfach mal an:
Zeiche einen Kreis, Radius r, dem Du ein gleichseitiges Dreick einschreibst.
Wie groß ist der Umfang [mm] U_3 [/mm] des Dreieckes?
Als nächstes könntest Du ein gleichmäßiges 6-Eck nehmen, dann ein 12-Eck usw.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für die Antwort.
Also ich habe ein Kreis mit dem Radius 10 LE und habe darin ein Dreieck eingesetzt. Der Umfang des Dreiecks beträgt 52 LE.
Beim Selben Kreis habe ich dann ein 6-Eck eingesetzt und der Umfang beträgt 60 LE.
Beim 12-Eck habe ich ein Umfang von 62,1 LE berechnet.
Wie kann ich nun daraus eine Folge erstellen?
Viele Grüße,
Kiara
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Hallo Kiara
Du hast nun die ersten drei Werte deiner Folge berechnet, nämlich 52; 60; 62,1. Du siehst, dass die Differenz der Werte ( 60 - 52 = 8; 62,1 - 60 = 2,1 ) deiner Folge abnimmt. Das ist ein Zeichen, dass sie konvergieren könnte. Die Folge ist zudem monoton steigend. Das ist logisch, denn das Dreieck sollte den kleinsten Umfang haben und die weiteren Figuren sollten sich den Kreis von innen immer stärker annähren. Du musst die Folge nun fortsetzen, d.h. du musst eine allgemeine Gleichung für den Umfang eines dem Kreis einbeschriebenne [mm] \left(3*2^{n}\right)-Ecks [/mm] finden. Diese Gleichung stellt dann eine Folge in der Variablen n dar, die gegen den Umfang des Kreises konvergiert.
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Hallo,
danke für Eure Hilfe, aber ich komme leider nicht weiter.
Soweit bin ich gekommen:
Kreis: Radius = 10 LE
Dreieckumfang = 52 LE.
6-Eck = 60 LE --> 60 - 52 = 8
12-Eck = 62,1 LE --> 62,1 - 60 = 2,1
13-Eck = 62,2 LE --> 62,2 - 62,1 = 0,1
14-Eck = 63,9 Le --> 63,9 - 62,2 = 1,7
15-Eck = 62,4 LE --> 62,4 - 63,9 = -1,5
16-Eck = 62,4 LE --> 62,4 - 62,4 = 0
entspricht das < 5 x [mm] 4^n [/mm] >?
Muss ich die Gleichung zur Umfangberechnung
U = 2πr = πd
auch mit einbeziehen?
Wie kann ich jetzt eine Folge daraus kostruieren?
Liebe Grüße,
Kiara
PS. Sorry wenn ich mich dusselig anstelle, aber ich habe Folgen etc. (bis jetzt) nie verstanden und leider auch niemand der mit es erklären kann.
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Hallo, vielen dank für deine Lösung.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:59 Mo 05.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist zwar nicht falsch, setzt aber die Kreisfunktionen in Abhängigkeit von Bogen vorraus, und damit genau, das [mm] \pi [/mm] , das man bestimmen will!
also ist es nicht wirklich was man will.
Ich denke man fngt besser mit nem Viereck an, und verdoppelt jeweils die Seitenzahl, dann kommt man mit Pythagoras aus, und es ist etwas mühsamer. Aber wie sonst ist denn [mm] \pi [/mm] bekannt?
Am einfachsten macht man nur 1/4 Kreis:
etwa so:
erst 1*schwarz, dann 2*rot, dann 4*grün dann 8* nächster Schritt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
Lieber Leduart,
in meinem Artikel ist natürlich kein Fehler, wenn ich [mm] $n\in\IN$ [/mm] zulasse. Deine (sehr anschauliche Konstruktion) greift eben nur gewisse Folgenglieder meiner Folge auf. Du beginnst mit einem Quadrat, deren Umfang durch mein Folgenglied [mm] $a_4$ [/mm] gegeben ist. Weiter fährst Du mit dem 8-Eck fort, deren Umfang durch mein Folgenglied [mm] $a_8$ [/mm] gegeben ist. Als nächstes mit einem 16-Eck, deren Umfang meinem Folgenglied [mm] $a_{16}$ [/mm] entspricht, u.s.w. Du betrachtest demzufolge die Teilfolge
[mm] $\left(a_{2^k}\right)_{k\in\IN,k\geqslant 2}\subset(a_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Am Rande: Natürlich kann man Deine Vorgehensweise auch ausgehend von einem Dreieck starten, so erhält man die Teilfolge
[mm] $\left(a_{3^k}\right)_{k\in\IN,k\geqslant 1}\subset(a_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Besten Gruß
Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mo 05.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Denny
ich hab doch ausdrücklich gesagt, dass deine Darstellung nicht falsch ist!
Aber, indem du den sin(x) benutzt, steckst du indirekt (mit x) die Bogenlänge des Kreises rein.die wird aber gerade versucht zu approximieren!
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
> ich hab doch ausdrücklich gesagt, dass deine Darstellung
> nicht falsch ist!
Dann habe ich das mit der Korrekturmitteilung falsch interpretiert. Aber ich verstehe Deinen Einwand.
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http://de.wikipedia.org/wiki/N-Eck