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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Sa 16.11.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Es sei a > 0 gegeben. Zeigen Sie, dass die reele Folge, [mm]a_n=\wurzel{a+n}-\wurzel{n} [/mm] gegen 0 konvergiert.
Verwenden Sie das [mm] \epsilon-Kriterium [/mm]

Also es muss ja gelten:

[mm] \left| A-a_n \right| < \epsilon <=>\left| 0-\wurzel{a+n}-\wurzel{n} \right| < \epsilon <=> \wurzel{a+n}-\wurzel{n} < \epsilon [/mm]

Jetzt quadrier ich des mal. Auch auf die Gefahr hin, dass das gegen alle mathemat. Gesetze verstößt und mir gar nichts bringt...

[mm] \-(a+n)-n < \epsilon <=> n> -\bruch{\epsilon^2+a}{2} [/mm]

Jetzt weiß ich aber nicht weiter. Es wär voll nett wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären könnte was beim zu tun ist.
Hab schon im Internet geschaut aber nix verstanden.

Dankeschön

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Sa 16.11.2013
Autor: reverend

Hallo,

aua.

> Es sei a > 0 gegeben. Zeigen Sie, dass die reele Folge,
> [mm]a_n=\wurzel{a+n}-\wurzel{n}[/mm] gegen 0 konvergiert.
>  Verwenden Sie das [mm]\epsilon-Kriterium[/mm]
>  Also es muss ja gelten:
>  
> [mm]\left| A-a_n \right| < \epsilon <=>\left| 0-\wurzel{a+n}-\wurzel{n} \right| < \epsilon <=> \wurzel{a+n}-\wurzel{n} < \epsilon[/mm]

Besser lesbar wirds, wenn Du das Zeichen [mm] \gdw [/mm] verwendest, das schreibt man hier \gdw - leicht zu merken: genau dann wenn.

> Jetzt quadrier ich des mal. Auch auf die Gefahr hin, dass
> das gegen alle mathemat. Gesetze verstößt und mir gar
> nichts bringt...
>  
> [mm]\-(a+n)-n < \epsilon <=> n> -\bruch{\epsilon^2+a}{2}[/mm]

[haee] Wie geht das denn??? Du hast nicht etwa angefangen, gliedweise zu quadrieren, oder? Selbst dann würde es nicht stimmen.

> Jetzt weiß ich aber nicht weiter. Es wär voll nett wenn
> mir jemand Schritt für Schritt erklären könnte was beim
> zu tun ist.
>  Hab schon im Internet geschaut aber nix verstanden.

Na, wer weiß, was Du gesucht hast.
Hier gilt der gleiche Tipp wie der, den Dir Valérie vorhin woanders gegeben hat: erweitern, so dass die 3. binomische Formel angewandt werden kann. Danach Grenzwertbetrachtung.

> Dankeschön  

Bitteschön.

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Sa 16.11.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


> Also es muss ja gelten:

>

> [mm]\left| A-a_n \right| < \epsilon <=>\left| 0-\wurzel{a+n}-\wurzel{n} \right| < \epsilon <=> \wurzel{a+n}-\wurzel{n} < \epsilon[/mm]

[aufgemerkt] Achtung! Du hast nicht korrekt in die Formel für das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] eingesetzt - es fehlen Klammern:

[mm] $\left| \ A-a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 0-\left( \ \wurzel{a+n}-\wurzel{n} \ \right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ -\wurzel{a+n}+\wurzel{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a+n}-\wurzel{n} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm]

Am Ende wurde es dann bei Dir (mehr oder minder zufällig) wieder richtig.


Derartige Fehler lassen sich vermeiden, wenn Du von Anfang an rechnest: [mm] $\left| \ a_n-A \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
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