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| Aufgabe | 1) Man untersuche, ob [mm] f_n(x)=x^{n}*sin(1-x) [/mm] auf [mm] [0,1] [/mm] gleichmäßig konvergiert.
2) Man zeige, dass auf [mm] \IR^2 [/mm] [mm] f_n(x,y)=\begin{cases} \bruch{(x^3*y^2)}{(y^2 + x^2)}, & \mbox{für } n \le \wurzel{x^{2}+y^{2}}\le 2n \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hab grad total die Schwierigkeit diese Aufgabe zu berechnen.
Bei der 1. hab ich heraus, dass die Grenzfunktion f(x)=0 ist. Danach wollte ich mithilfe der Formel [mm] limsup|f_n(x)-f(x)| [/mm] bestimmen , ob das glm konvergiert oder nicht. Jedoch habe ich gerade erfahren, dass man nur nach oben abschätzen kann, wenn man weiß, dass es glm. kvgt. Da bei meiner Abschätzung sin(1) rauskommt, kann es irgendwie nicht stimmen.
Bei der 2 scheitert es bei mir an der Bedingung.
Ich hoffe mir kann einer weiterhelfen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
WinniePoh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> 1) Man untersuche, ob [mm]f_n(x)=x^{n}*sin(1-x)[/mm] auf [mm][0,1][/mm]
> gleichmäßig konvergiert.
> 2) Man zeige, dass auf [mm]\IR^2[/mm] [mm]f_n(x,y)=\begin{cases} \bruch{(x^3*y^2)}{(y^2 + x^2)}, & \mbox{für } n \le \wurzel{x^{2}+y^{2}}\le 2n \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
Ja, was ist denn zu zeigen ??????
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> Hallo zusammen,
>
> ich hab grad total die Schwierigkeit diese Aufgabe zu
> berechnen.
>
> Bei der 1. hab ich heraus, dass die Grenzfunktion f(x)=0
> ist.
Das stimmt.
> Danach wollte ich mithilfe der Formel
> [mm]limsup|f_n(x)-f(x)|[/mm] bestimmen , ob das glm konvergiert oder
> nicht.
Auch das ist richtig.
> Jedoch habe ich gerade erfahren, dass man nur nach
> oben abschätzen kann, wenn man weiß, dass es glm. kvgt.
Was hast Du erfahren ??
> Da bei meiner Abschätzung sin(1) rauskommt,
Auch das ist richtig, aber gewaltig übers Ziel hinausgeschossen !
> kann es
> irgendwie nicht stimmen.
>
> Bei der 2 scheitert es bei mir an der Bedingung.
An welcher ?
FRED
>
> Ich hoffe mir kann einer weiterhelfen :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Viele Grüße
> WinniePoh
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Erstmal danke für die Antwort.
Ups ich hab vergessen den rest der Aufgabe hinzuschreiben. Bei der 2 muss man zeigen, dass es pktw. konvergiert, jedoch nicht glm. gegen f=0.
Also bei der 1 hab ich das folgendermaßen gemacht:
[mm] limsup|f_n(x)-f(x)| [/mm] = limsup [mm] |x^{n} [/mm] * sin(1-x)-0| [mm] \le [/mm] sin(1-0)* lim [mm] 1^n [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] erhalte ich dann sin(1)*1 also sin(1) und das ist [mm] \not= [/mm] 0, also nicht glm. kvgt.
jetzt meinte ein Kommilitone, dass man das so nicht machen kann sondern NUR, wenn wir wissen, dass es glm. konvergiert.
bei der 2 weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für die Antwort.
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> Ups ich hab vergessen den rest der Aufgabe hinzuschreiben.
> Bei der 2 muss man zeigen, dass es pktw. konvergiert,
> jedoch nicht glm. gegen f=0.
Aha ! Das besprechen wir später.
>
> Also bei der 1 hab ich das folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]limsup|f_n(x)-f(x)|[/mm] = limsup [mm]|x^{n}[/mm] * sin(1-x)-0| [mm]\le[/mm]
> sin(1-0)* lim [mm]1^n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] erhalte ich dann sin(1)*1
> also sin(1) und das ist [mm]\not=[/mm] 0, also nicht glm. kvgt.
Den Schluss kannst Du nicht ziehen !
Setzen wir
[mm] A_n:=\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\} [/mm] und [mm] a_n:=supA_n.
[/mm]
Es gilt: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] glm. gegen f [mm] \gdw (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Untersuche also, ob [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist oder nicht.
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> jetzt meinte ein Kommilitone, dass man das so nicht machen
> kann sondern NUR, wenn wir wissen, dass es glm.
> konvergiert.
Was Du gemacht hast: Du hast gezeigt: [mm] a_n \le [/mm] sin(1). Nicht mehr, nicht weniger. Das bringt Dir aber nichts für die Frage, ob [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Sag Deinem Kommilitonen, er soll weniger Unsinn reden.
>
> bei der 2 weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
Klar ist: f(0,0)=0.
Sei (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] und (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). (x,y) sei zunächst fest.Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \wurzel{x^2+y^2}
Somit ist auch [mm] \wurzel{x^2+y^2}
Fazit: [mm] f_n(x,y)=0 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Das bedeutet: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise gegen f=0.
Nun nimm mal an, [mm] (f_n) [/mm] würde auf [mm] \IR^2 [/mm] glm. gegen f konvergieren. Dann gäbe es zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit
[mm] |f_n((x,y)|<1 [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] und alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Dann hätten wir auch:
(*) [mm] |f_n((n,n)|<1 [/mm] für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Nun berechne mal [mm] f_n(n,n) [/mm] und Du wirst auf einen Widerspruch zu (*) kommen.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufagbe 1): es bleibt bislang noch die Frage, ob [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] glm. konvergiert oder nicht.
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] glm. !
Der Nachweis ist allerdings knackig (oder der FRED stellt sich zu dämlich an), daher gebe ich jetzt eine Lösung an.
Denn ich halte diesen Nachweis für zu schwer für eine Übungsaufgabe im 1. Semester (oder der FRED stellt sich zu dämlich an).
Das Intervall [0,1] ist kompakt und jedes [mm] f_n [/mm] ist stetig, somit gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_n \in [/mm] [0,1] mit:
0 [mm] \le f_n(x) \le f_n(x_n)=:a_n [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Zu zeigen ist also: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Wegen [mm] a_n [/mm] >0 und [mm] f_n(0)=f_n(1)=0 [/mm] haben wir: [mm] x_n \in [/mm] (0,1) für alle n.
Somit ist [mm] f_n'(x_n)=0 [/mm] für jedes n.
Leitet man [mm] f_n [/mm] ab und beachtet man [mm] x_n \ne [/mm] 0, so sieht man, dass gilt:
(*) [mm] sin(1-x_n)=\bruch{x_n}{n}cos(1-x_n) [/mm] (n [mm] \in \IN).
[/mm]
Sei nun p ein Häufungswert von [mm] (x_n). [/mm] Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] , die gegen p konvergiert.
Aus
[mm] sin(1-x_{n_k})=\bruch{x_{n_k}}{n_k}cos(1-x_{n_k}) [/mm] für alle k
folgt mit k [mm] \to \infty:
[/mm]
$sin(1-p)=0,$
denn [mm] (cos(1-x_{n_k})) [/mm] ist beschränkt und [mm] (\bruch{x_{n_k}}{n_k}) [/mm] konvergiert für k [mm] \to \infty [/mm] gegen 0.
Da p [mm] \in [/mm] [0,1] ist, folgt aus sin(1-p)=0: es ist p=1.
Damit besitzt die beschränkte Folge [mm] (x_n) [/mm] genau einen Häufungswert, nämlich 1. [mm] (x_n) [/mm] ist also konvergent und [mm] x_n \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Aus (*) bekommen wir
[mm] $x_n=n* \bruch{sin(1-x_n)}{cos(1-x_n)}$
[/mm]
Multipliziert man diese Gleichung mit [mm] x_n^n [/mm] durch, so erhält man
[mm] $x_n^{n+1}=n*\bruch{f_n(x_n)}{cos(1-x_n)}=n*\bruch{a_n}{cos(1-x_n)}$.
[/mm]
Daraus resultiert
$0 [mm] \le a_n=\bruch{x_n^{n+1}cos(1-x_n)}{n} \le \bruch{1}{n}$ [/mm] für alle n.
Somit haben wir: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
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