Konvergenz von Paaren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie [mm] X=\IR^2 [/mm] mit der französischen Eisenbahnmetrik,
[mm] d(x,y)=\begin{cases} |y|, & \mbox{für } x=0 \\ |x-y| , & \mbox{für } x=t\cdot y \mbox{ mit } t\in\IR \\ |x|+|y| , & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
Geben Sie an, ob die folgenden Folgen divergieren oder konvergieren, geben Sie gegebenfalls den Grenzwert an, und beweisen Sie ihre Aussagen.
1. [mm] ((1,\bruch{1}{n}))_{n\in\IN}
[/mm]
2. [mm] ((1+\bruch{1}{n},0))_{n\in\IN} [/mm] |
Hallo!
Ich bin mir bei meiner Lösung unsicher und würde gerne wissen, ob sie stimmt.
Also bei der Konvergenz von Paaren, konvergieren diese ja, wenn die einzelnen Folgen gegen den entsprechenden Wert konvergieren.
1. Ich denke der Grenzwert ist (1,0), denn es gilt offensichtlich [mm] |1-1|<\epsilon [/mm] für alle [mm] \epsilon>0.
[/mm]
Beim zweiten gilt [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert gegen 0. Denn:
Wähle [mm] \bruch{1}{N}<\epsilon [/mm] dies existiert nach Archimedes.
[mm] d(\bruch{1}{n},0)=d(0,\bruch{1}{n})=|\bruch{1}{n}|<\bruch{1}{N}<\epsilon
[/mm]
Damit ist die Konvergenz doch gezeigt oder?
2. Ich denke der Grenzwert ist (1,0). Denn die Konstante 0 konvergiert gegen 0, und
[mm] d(1+\bruch{1}{n},1) [/mm]
(denn [mm] 1+\bruch{1}{n}=\bruch{n+1}{n} [/mm] und
[mm] \bruch{n+1}{n} \cdot \bruch{n}{n+1} [/mm] = 1 und [mm] \bruch{n}{n+1} \in \IR)
[/mm]
[mm] =|1+\bruch{1}{n}-1| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}| [/mm]
und dies ist stets kleiner als [mm] \epsilon [/mm] wie in 1. gezeigt.
Ich glaube, dass ist falsch, denn unser Prof meinte, er würde eine Aufgabe nehmen, in der er zeigen würde, dass manche Folgen in der einen Metrik konvergieren und in einer anderen divergieren.
Lieben Gruß, Wiebke
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> Betrachten Sie [mm]X=\IR^2[/mm] mit der französischen
> Eisenbahnmetrik,
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \red{x=0} \\ |x-y| , & \mbox{für } x=t\cdot y \mbox{ mit } t\in\IR \\ |x|+|y| , & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
im ersten Fall sollte dies wohl lauten: x=y
> Geben Sie an, ob die folgenden Folgen divergieren oder
> konvergieren, geben Sie gegebenfalls den Grenzwert an, und
> beweisen Sie ihre Aussagen.
> 1. [mm]((1,\bruch{1}{n}))_{n\in\IN}[/mm]
> 2. [mm]((1+\bruch{1}{n},0))_{n\in\IN}[/mm]
> Hallo!
> Ich bin mir bei meiner Lösung unsicher und würde gerne
> wissen, ob sie stimmt.
>
> Also bei der Konvergenz von Paaren, konvergieren diese ja,
> wenn die einzelnen Folgen gegen den entsprechenden Wert
> konvergieren.
>
> 1. Ich denke der Grenzwert ist (1,0), denn es gilt
> offensichtlich [mm]|1-1|<\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0.[/mm]
> Beim zweiten gilt [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert gegen 0. Denn:
> Wähle [mm]\bruch{1}{N}<\epsilon[/mm] dies existiert nach
> Archimedes.
> [mm]d(\bruch{1}{n},0)=d(0,\bruch{1}{n})=|\bruch{1}{n}|<\bruch{1}{N}<\epsilon[/mm]
> Damit ist die Konvergenz doch gezeigt oder?
>
> 2. Ich denke der Grenzwert ist (1,0). Denn die Konstante 0
> konvergiert gegen 0, und
>
> [mm]d(1+\bruch{1}{n},1)[/mm]
>
> (denn [mm]1+\bruch{1}{n}=\bruch{n+1}{n}[/mm] und
> [mm]\bruch{n+1}{n} \cdot \bruch{n}{n+1}[/mm] = 1 und [mm]\bruch{n}{n+1} \in \IR)[/mm]
>
> [mm]=|1+\bruch{1}{n}-1|[/mm] = [mm]|\bruch{1}{n}|[/mm]
> und dies ist stets kleiner als [mm]\epsilon[/mm] wie in 1. gezeigt.
>
> Ich glaube, dass ist falsch, denn unser Prof meinte, er
> würde eine Aufgabe nehmen, in der er zeigen würde, dass
> manche Folgen in der einen Metrik konvergieren und in
> einer anderen divergieren.
>
> Lieben Gruß, Wiebke
Hallo,
zuerst muss man sich hier den Begriff "französische Eisen-
bahnmetrik" auf der Zunge zergehen lassen. Die ist ja so
definiert, dass es einen "Zentralpunkt" Z(0/0) gibt mit
folgender Eigenschaft: liegen X und Y auf einer durch Z
gehenden geraden Linie, so ist d(X,Y) die Länge der
direkten Verbindungsstrecke. Liegen X,Y und Z jedoch
nicht exakt auf einer Geraden, so muss man, um von X
nach Y zu gelangen, stets den Umweg über Z nehmen.
In Aufgabe (1) hat man nun eine Folge von Punkten, welche
(in der gewöhnlichen euklidischen Metrik) längs der
nord-südlichen Geraden g:x=1 sich dem Punkt (1/0)
auf der x-Achse nähert. Nach "Eisenbahnmetrik" haben
aber die Punkte [mm] X_n\left(1\,,\frac{1}{n}\right) [/mm] und [mm] X_{n+1}\left(1\,,\frac{1}{n+1}\right) [/mm] stets einen
Abstand, der größer als 2 ist.
In dieser Metrik kann also keine Rede von Konvergenz
sein.
Bei der Aufgabe (2) liegen die Dinge völlig anders, denn
man nähert sich entlang der Geraden y=0 (also der
x-Achse) dem Punkt (1/0). Da diese Gerade durch Z
geht, ist der "Umweg" über Z nicht notwendig, und die
Punktfolge ist auch in der SNCF-Metrik eine Cauchy-Folge.
LG Al-Chw.
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Hallo!
Vielen dank erstmal für die Antwort. Leider ist mir das immer noch nicht ganz klar.
Also, dass mit der SCNF-Metrik ist mir bekannt, da hatten wir schon mal eine Aufgabe zu. Das verstehe ich auch.
> In Aufgabe (1) hat man nun eine Folge von Punkten, welche
> (in der gewöhnlichen euklidischen Metrik) längs der
> nord-südlichen Geraden g:x=1 sich dem Punkt (1/0)
> auf der x-Achse nähert.
Genau, den Punkt hatte ich ja auch als möglichen Grenzwert gewählt.
> Nach "Eisenbahnmetrik" haben
> aber die Punkte [mm]X_n\left(1\,,\frac{1}{n}\right)[/mm] und
> [mm]X_{n+1}\left(1\,,\frac{1}{n+1}\right)[/mm] stets einen
> Abstand, der größer als 2 ist.
> In dieser Metrik kann also keine Rede von Konvergenz
> sein.
Das verstehe ich leider noch nicht ganz. Denn man muss doch den Abstand von [mm] d(x_n,x)<\epsilon [/mm] also von der Folge und dem Grenzwert betrachten.
Und ich dachte, da ich Paare ((1, [mm] \bruch{1}{n}))_{n\in\IN} [/mm] habe, muss ich diese einzeln betrachten, also [mm] (1)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (\bruch{1}{n})_{n\in\IN}. [/mm] Und dann hätte ich ja beim zweiten den möglichen Grenzwert 0 und dann klappt das leider. Anschaulich ist mir allerdings klar, dass da eigentlich immer ein Abstand größer als 2 herauskommen müsste, ich kann nur den Konvergenzbegriff nicht auf Tupel in [mm] \IR^2 [/mm] anwenden.
> Bei der Aufgabe (2) liegen die Dinge völlig anders, denn
> man nähert sich entlang der Geraden y=0 (also der
> x-Achse) dem Punkt (1/0). Da diese Gerade durch Z
> geht, ist der "Umweg" über Z nicht notwendig, und die
> Punktfolge ist auch in der SNCF-Metrik eine Cauchy-Folge.
Genau das ist mir jetzt anschaulich klar. Aber ist mein formaler Beweis so richtig?
Danke schon mal.
LG WiebkeMarie
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Hallo Wiebke,
> Genau das ist mir jetzt anschaulich klar. Aber ist mein
> formaler Beweis so richtig?
also du hast anscheinend noch nicht so ganz verstanden, dass du dich in einem 2 dimensionalen Raum befindest, dazu mal das Beispiel der ersten Aufgabe wieder:
Wir haben die Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] (1,\bruch{1}{n})$, [/mm] du vermutest nun der Grenzwert sei $a = (1,0)$.
Damit das gilt, muss ja gelten [mm] $d(a_n,a) [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] also
[mm] $d((1,\bruch{1}{n}),(1,0)) [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Die x und y in der Definition der Metrik sind also VEKTOREN und KEINE Komponenten.
Offensichtlich gilt NICHT $a = [mm] t*a_n$ [/mm] oder $a = [mm] a_n$ [/mm] damit bleibt nur der dritte Fall, also:
[mm] $d((1,\bruch{1}{n}),(1,0)) [/mm] = [mm] |(1,\bruch{1}{n})| [/mm] + |(1,0)| = [mm] \wurzel(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2}) [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 2$
Was Al meinte war, dass zwei Folgenglieder [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] immer einen Abstand grösser 2 haben (also [mm] $d(a_n,a_{n+1}) [/mm] > 2$ gilt) und damit nichtmal Cauchy-Folge (und damit auch nie konvergent) sind.
Das siehst du ganz einfach ,wenn du [mm] $d(a_n,a_{n+1})$ [/mm] mal berechnest wie oben 
So, und nun mach mal die zweite Aufgabe nochmal richtig.
mFG,
Gono.
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Hey Gono!
Danke für deine Hilfe, genau das, wie ich im [mm] \IR^2 [/mm] damit umgehe hat mir gefehlt. Ich glaub ich habs jetzt:
1. Teil: Da habe ich zwei Möglichkeiten, entweder, sagt, man ,dass (1,0) der einzig mögliche Grenzwert ist und widerlegt den, oder man macht das über Cauchy Folgen. Dann ist ja klar, der Abstand zwischen zwei Folgegliedern ist immer größer oder gleich 2 und damit nicht kleiner als ein beliebiges Epsilon. Also kann die Folge keine Cauchy Folge sein und damit ist sie nicht konvergent. Ist ja eigentlich logisch wenn man das so sieht...
2. Teil: [mm] d(a_n,a)=d((1+\bruch{1}{n},0),(1,0))
[/mm]
(und da [mm] (1+\bruch{1}{n},0)=(1,0)\cdot(1+\bruch{1}{n}) [/mm] gilt dann)
[mm] =|(1+\bruch{1}{n},0)-(1,0)|
[/mm]
[mm] =|(1+\bruch{1}{n}-1,0)|
[/mm]
[mm] =|(\bruch{1}{n},0)|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}
[/mm]
(und nach Archimedes gilt: es existiert ein [mm] \epsilon>\bruch{1}{N})
[/mm]
< [mm] \bruch{1}{N}
[/mm]
[mm] <\epsilon
[/mm]
und damit ist (1,0) tatsächlich Grenzwert und die Folge konvergiert.
Vielen Dank nochmal.
Lg WiebkeMarie
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Hiho,
> 1. Teil: Da habe ich zwei Möglichkeiten, entweder, sagt,
> man ,dass (1,0) der einzig mögliche Grenzwert ist und
> widerlegt den, oder man macht das über Cauchy Folgen.
Hm, klares Jein. Wie willst du zeigen, dass $(1,0)$ der einzig mögliche Grenzwert ist? Also wenn du das zeigen kannst, stimmt es natürlich, mich würde nur mal interessieren, wie das gehen soll.
Also daher ist der Cauchy-Ansatz meiner Meinung nach der bessere.....
> Dann ist ja klar, der Abstand zwischen zwei Folgegliedern ist
> immer größer oder gleich 2 und damit nicht kleiner als
> ein beliebiges Epsilon. Also kann die Folge keine Cauchy
> Folge sein und damit ist sie nicht konvergent. Ist ja
> eigentlich logisch wenn man das so sieht...
Nicht nur, wenn man es so sieht. Auch anders bleibts logisch
> 2. Teil: [mm]d(a_n,a)=d((1+\bruch{1}{n},0),(1,0))[/mm]
> (und da [mm](1+\bruch{1}{n},0)=(1,0)\cdot(1+\bruch{1}{n})[/mm] gilt
> dann)
> [mm]=|(1+\bruch{1}{n},0)-(1,0)|[/mm]
> [mm]=|(1+\bruch{1}{n}-1,0)|[/mm]
> [mm]=|(\bruch{1}{n},0)|[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{n}[/mm]
> (und nach Archimedes gilt: es existiert ein
> [mm]\epsilon>\bruch{1}{N})[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{N}[/mm]
> [mm]<\epsilon[/mm]
>
> und damit ist (1,0) tatsächlich Grenzwert und die Folge
> konvergiert.
Jop, sieht doch schon viel besser aus.
MFG,
Gono.
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Hey!
> Hm, klares Jein. Wie willst du zeigen, dass [mm](1,0)[/mm] der
> einzig mögliche Grenzwert ist? Also wenn du das zeigen
> kannst, stimmt es natürlich, mich würde nur mal
> interessieren, wie das gehen soll.
> Also daher ist der Cauchy-Ansatz meiner Meinung nach der
> bessere.....
Ja genau das habe ich mir auch überlget und deswegen den Cauchy Ansatz gewählt. Aber es hat mir geholfen, damit mir klar geworen ist, warum (1,0) nicht der Grenzwert sein kann.
Danke!
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