Konvergenz von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebenen Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz (mit Beweis!):
[...]
ii) [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)$
[/mm]
[...] |
Hallo,
ich komme bei der Reihe da oben einfach nicht weiter. Allzu schwer kann der Aufgabenteil nicht sein, es gibt nämlich noch 5 andere Reihen in der Aufgabe und die gesamte Aufgabe gibt nur [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] der Gesamtpunktzahl des Zettels...
Also, durch Plotten mit Wolfram|Alpha weiß ich schon mal, dass die Reihe nicht absolut konvergiert (müsste ich natürlich dann noch zeigen), also fallen Wurzel- und Quotientenkriterium ja schon mal weg. Das Majoranten-Kriterium bringt mir in diesem Fall ja dann auch nichts, genauso wie das Leibnizkriterium, da [mm] $\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)$ [/mm] ja leider nicht monoton fällt (hab ich mir auch erst mal nur plotten lassen, aber ist ja wegen dem zusätzlichen [mm] $\left(-1\right)^k$ [/mm] auch nicht verwunderlich). Jetzt bleibt mir dann doch nur noch das Cauchy-Kriterium, oder? Da komme ich dann aber gerade absolut nicht weiter. Ich habe keine Ahnung, wie ich das vernünftig abschätzen soll. Es ginge ja zuerst einmal so:
Eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] $\forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \,\exists n_0\in\mathds{N}\,\forall n\geq m\geq n_0: \left| \sum_{k=m}^n a_k\right|<\varepsilon$, [/mm] also:
[mm] $\left|\sum_{k=m}^{n} \left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)\right|=\left|\left(-1\right)^n\left(\frac{1}{n}+\frac{\left(-1\right)^n}{n^2}\right)+\left(-1\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n-1}+\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{{\left(n-1\right)}^2}\right)+\ldots+\left(-1\right)^{m+1}\left(\frac{1}{m+1}+\frac{\left(-1\right)^{m+1}}{{\left(m+1\right)}^2}\right)+\left(-1\right)^m\left(\frac{1}{m}+\frac{\left(-1\right)^m}{m^2}\right)\right|$
[/mm]
jetzt müsste ich das ganze ja wahrscheinlich irgendwie abschätzen, habe aber keine Ahnung wie ich das machen soll, so dass es mir was bringt.
Oder muss/kann ich das ganze aufteilen in n gerade und n ungerade? Dafür müsste die Reihe absolut konvergent sein, oder? :/
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> Untersuchen Sie die angegebenen Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz (mit Beweis!):
>
> [...]
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> ii) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)[/mm]
>
> [...]
> Hallo,
>
> ich komme bei der Reihe da oben einfach nicht weiter. Allzu
> schwer kann der Aufgabenteil nicht sein, es gibt nämlich
> noch 5 andere Reihen in der Aufgabe und die gesamte Aufgabe
> gibt nur [mm]\frac{1}{3}[/mm] der Gesamtpunktzahl des Zettels...
>
> Also, durch Plotten mit Wolfram|Alpha weiß ich schon mal,
> dass die Reihe nicht absolut konvergiert (müsste ich
> natürlich dann noch zeigen), also fallen Wurzel- und
> Quotientenkriterium ja schon mal weg. Das
> Majoranten-Kriterium bringt mir in diesem Fall ja dann auch
> nichts, genauso wie das Leibnizkriterium, da
> [mm]\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)[/mm] ja
> leider nicht monoton fällt (hab ich mir auch erst mal nur
> plotten lassen, aber ist ja wegen dem zusätzlichen
> [mm]\left(-1\right)^k[/mm] auch nicht verwunderlich). Jetzt bleibt
> mir dann doch nur noch das Cauchy-Kriterium, oder? Da komme
> ich dann aber gerade absolut nicht weiter. Ich habe keine
> Ahnung, wie ich das vernünftig abschätzen soll. Es ginge
> ja zuerst einmal so:
>
> Eine Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm] konvergiert genau dann,
> wenn [mm]\forall\varepsilon >0 \,\exists n_0\in\mathds{N}\,\forall n\geq m\geq n_0: \left| \sum_{k=m}^n a_k\right|<\varepsilon[/mm],
> also:
>
> [mm]\left|\sum_{k=m}^{n} \left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)\right|=\left|\left(-1\right)^n\left(\frac{1}{n}+\frac{\left(-1\right)^n}{n^2}\right)+\left(-1\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n-1}+\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{{\left(n-1\right)}^2}\right)+\ldots+\left(-1\right)^{m+1}\left(\frac{1}{m+1}+\frac{\left(-1\right)^{m+1}}{{\left(m+1\right)}^2}\right)+\left(-1\right)^m\left(\frac{1}{m}+\frac{\left(-1\right)^m}{m^2}\right)\right|[/mm]
>
> jetzt müsste ich das ganze ja wahrscheinlich irgendwie
> abschätzen, habe aber keine Ahnung wie ich das machen
> soll, so dass es mir was bringt.
> Oder muss/kann ich das ganze aufteilen in n gerade und n
> ungerade? Dafür müsste die Reihe absolut konvergent sein,
> oder? :/
$ [mm] \left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)=\frac{(-1)^k}{k}+\frac{1}{k^2}$
[/mm]
Jetzt kannst du die Reihe in zwei Teile aufspalten, deren Konvergenzverhalten du wahrscheinlich kennst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> [mm]\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)=\frac{(-1)^k}{k}+\frac{1}{k^2}[/mm]
> Jetzt kannst du die Reihe in zwei Teile aufspalten, deren
> Konvergenzverhalten du wahrscheinlich kennst.
Wäre das dann nicht eine Umordnung? Ich hätte das bis zu dieser Woche, in der Produkte von Reihen und Umordnungen, etc. dran waren, wohl auch einfach so aufgeteilt (hatte ich sogar schon, ganz ehrlich :D), da ja [mm] $\frac{(-1)^k}{k}$ [/mm] nach dem Leibnizkriterium konvergiert (in der Vorlesung als Beispiel dafür bewiesen) und wir die Konvergenz von [mm] $\frac{1}{k^2}$ [/mm] (also jeweils die jeweiligen Reihen) auch schon gezeigt hatten. Da also beide Summanden konvergieren, konvergiert auch die Summe und ich hab die Konvergenz gezeigt, aber ich war mir nicht mehr sicher, ob ich das überhaupt darf. Müsste ich dann nicht erst noch zeigen, dass das aufteilen den Grenzwert nicht verändert, oder so? Wir hatten als Beispiel in der Vorlesung nämlich auch die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots\to [/mm] s$ und haben dann die Summanden umgeordnet [mm] $\left(\underbrace{1-\frac{1}{2}}_{=\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}_{=\frac{1}{6}}-\frac{1}{8}+\ldots=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots\right)=\frac{1}{2}s\not=s\right)$ [/mm] und gezeigt, dass das den Grenzwert ändert...
Aber wahrscheinlich hat da das eine nichts mit dem anderen zu tun und ich bin einfach nur leicht verwirrt, oder? :)
Danke übrigens!
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> >
> [mm]\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)=\frac{(-1)^k}{k}+\frac{1}{k^2}[/mm]
> > Jetzt kannst du die Reihe in zwei Teile aufspalten,
> deren
> > Konvergenzverhalten du wahrscheinlich kennst.
>
> Wäre das dann nicht eine Umordnung? Ich hätte das bis zu
> dieser Woche, in der Produkte von Reihen und Umordnungen,
> etc. dran waren, wohl auch einfach so aufgeteilt (hatte ich
> sogar schon, ganz ehrlich :D), da ja [mm]\frac{(-1)^k}{k}[/mm] nach
> dem Leibnizkriterium konvergiert (in der Vorlesung als
> Beispiel dafür bewiesen) und wir die Konvergenz von
> [mm]\frac{1}{k^2}[/mm] (also jeweils die jeweiligen Reihen) auch
> schon gezeigt hatten. Da also beide Summanden konvergieren,
> konvergiert auch die Summe und ich hab die Konvergenz
> gezeigt, aber ich war mir nicht mehr sicher, ob ich das
> überhaupt darf. Müsste ich dann nicht erst noch zeigen,
> dass das aufteilen den Grenzwert nicht verändert, oder so?
> Wir hatten als Beispiel in der Vorlesung nämlich auch die
> Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots\to s[/mm]
> und haben dann die Summanden umgeordnet
> [mm]\left(\underbrace{1-\frac{1}{2}}_{=\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}_{=\frac{1}{6}}-\frac{1}{8}+\ldots=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots\right)=\frac{1}{2}s\not=s\right)[/mm]
> und gezeigt, dass das den Grenzwert ändert...
>
> Aber wahrscheinlich hat da das eine nichts mit dem anderen
> zu tun und ich bin einfach nur leicht verwirrt, oder? :)
>
> Danke übrigens!
Aufteilung in zwei Summen ist keine Umordnung. Es gilt allgemein (also Folge der entsprechenden regel für "einfache" grenzwerte):
Sind [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] konvergent, so auch [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k)$ [/mm] mit
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}(a_k+b_k)=\lim_{N\to\infty}(\sum_{k=1}^{N}a_k+\sum_{k=1}^{N}b_k)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}a_k+\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}b_k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k+\sum_{k=1}^{\infty}b_k$
[/mm]
Umgekehrt muss man vorsichtig sein: aus der Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}(a_n+b_n)$ [/mm] folgt natürlich noch nicht die Konvergenz der beiden Einzelreihen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 20.11.2011 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Hilfe! Also, die Konvergenz habe ich jetzt gezeigt, genauso wie ich mittlerweile die (absolute) Konvergenz/Divergenz der anderen 5 Reihen gezeigt habe, aber bei der hier komme ich jetzt auch bei der absoluten Konvergenz nicht weiter. Hättest du vielleicht einen Tipp für mich, mit welchem Satz/welcher Definition ich die angehen könnte? Das Quotientenkriterium habe ich schon ausprobiert, komme da aber nicht wirklich weiter, weil ich gerade zu blöd bin das richtig abzuschätzen. Also:
[mm] \left|\frac{ \left(-1\right)^{k+1}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}\right)}{\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}\right|=\left|-\frac{\frac{1}{k+1}+\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}}{\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}}\right|=\left|-\frac{ \frac{1}{k+1}}{\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}-\frac{\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}}{\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}\right|=\cdots
[/mm]
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> Danke für deine Hilfe! Also, die Konvergenz habe ich jetzt
> gezeigt, genauso wie ich mittlerweile die (absolute)
> Konvergenz/Divergenz der anderen 5 Reihen gezeigt habe,
> aber bei der hier komme ich jetzt auch bei der absoluten
> Konvergenz nicht weiter. Hättest du vielleicht einen Tipp
> für mich, mit welchem Satz/welcher Definition ich die
> angehen könnte? Das Quotientenkriterium habe ich schon
> ausprobiert, komme da aber nicht wirklich weiter, weil ich
> gerade zu blöd bin das richtig abzuschätzen. Also:
>
> [mm]\left|\frac{ \left(-1\right)^{k+1}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}\right)}{\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}\right|=\left|-\frac{\frac{1}{k+1}+\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}}{\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}}\right|=\left|-\frac{ \frac{1}{k+1}}{\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}-\frac{\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{{\left(k+1\right)}^2}}{\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)}\right|=\cdots[/mm]
>
Das kann auch so gar nicht klappen, weil die Reihe nicht absolut konvergent ist. Grund ist, dass da die alternierende harmonische Reihe "drinsteckt".
Zum Beweis (durch Widerspruch): Wäre [mm] \sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2}) [/mm] absolut konvergent, würde daraus die absolute Konvergenz von
[mm] $\sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2})-\sum\frac{1}{k^2}=\sum\frac{(-1)}{k}$ [/mm] folgen.
Altenativ kannst du auch abschätzen:
[mm] |\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2}|\ge\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}\ge\frac{1}{2k} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> Das kann auch so gar nicht klappen, weil die Reihe nicht
> absolut konvergent ist. Grund ist, dass da die
> alternierende harmonische Reihe "drinsteckt".
> Zum Beweis (durch Widerspruch): Wäre
> [mm]\sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2})[/mm] absolut konvergent,
> würde daraus die absolute Konvergenz von
>
> [mm]\sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2})-\sum\frac{1}{k^2}=\sum\frac{(-1)}{k}[/mm]
> folgen.
> Altenativ kannst du auch abschätzen:
>
> [mm]|\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2}|\ge\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}\ge\frac{1}{2k}[/mm]
> für [mm]k\ge[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2.
Ich hatte eigentlich vor zu zeigen, dass der Quotient gegen einen Wert $>1$ läuft, wollte also über das Quotientenkriterium die Divergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} \left|\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)\right|$ zeigen. Aber da ist deine Lösung natürlich um einiges schöner und spart eine Menge Arbeit. Ich frage mich nur gerade, ob mein Ansatz wohl überhaupt funktioniert hätte... Irgendwie neige ich wohl dazu immer in den ungünstigsten Situationen zu kompliziert zu denken, wenn ich mir mal vor Augen führe, wie lange ich alleine schon an dieser Teilaufgabe gesessen habe.
Oh, Moment, ich sehe gerade, du hast in deinem Beweis $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)$ geschrieben, es geht aber doch um $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right)$, und danach würde doch die Reihe konvergieren, da dann nach Abzug von $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\right)$ gerade $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}$ übrigbleiben würde, was ja nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert, oder nicht?
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> > Das kann auch so gar nicht klappen, weil die Reihe nicht
> > absolut konvergent ist. Grund ist, dass da die
> > alternierende harmonische Reihe "drinsteckt".
> > Zum Beweis (durch Widerspruch): Wäre
> > [mm]\sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2})[/mm] absolut konvergent,
> > würde daraus die absolute Konvergenz von
> >
> >
> [mm]\sum(\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2})-\sum\frac{1}{k^2}=\sum\frac{(-1)}{k}[/mm]
> > folgen.
> > Altenativ kannst du auch abschätzen:
> >
> >
> [mm]|\frac{(-1)}{k}+\frac{1}{k^2}|\ge\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}\ge\frac{1}{2k}[/mm]
> > für [mm]k\ge[/mm] 2.
>
> Ich hatte eigentlich vor zu zeigen, dass der Quotient gegen
> einen Wert [mm]>1[/mm] läuft, wollte also über das
> Quotientenkriterium die Divergenz von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left|\left(-1\right)^k\left(\frac{1}{k}+\frac{\left(-1\right)^k}{k^2}\right)\right|[/mm]
> zeigen. Aber da ist deine Lösung natürlich um einiges
> schöner und spart eine Menge Arbeit. Ich frage mich nur
> gerade, ob mein Ansatz wohl überhaupt funktioniert
> hätte... Irgendwie neige ich wohl dazu immer in den
> ungünstigsten Situationen zu kompliziert zu denken, wenn
> ich mir mal vor Augen führe, wie lange ich alleine schon
> an dieser Teilaufgabe gesessen habe.
Die Quotienten konvergieren gegen 1, sodass du mit dem Quotientenkriterium keine Aussage machen kannst.
>
>
> Oh, Moment, ich sehe gerade, du hast in deinem Beweis
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm]
> geschrieben, es geht aber doch um [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm],
> und danach würde doch die Reihe konvergieren, da dann nach
> Abzug von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\right)[/mm] gerade
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}[/mm]
> übrigbleiben würde, was ja nach dem Leibniz-Kriterium
> konvergiert, oder nicht?
Das fehlende hoch n war nur ein Tippfehler. Die Konvergenz der Reihe hatten wir schon weiter oben, zuletzt ging es darum, dass sie nicht absolut konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 22.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> Die Quotienten konvergieren gegen 1, sodass du mit dem
> Quotientenkriterium keine Aussage machen kannst.
Ah ok, danke!
> > Oh, Moment, ich sehe gerade, du hast in deinem Beweis
> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm]
> > geschrieben, es geht aber doch um [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm],
> > und danach würde doch die Reihe konvergieren, da dann nach
> > Abzug von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\right)[/mm] gerade
> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}[/mm]
> > übrigbleiben würde, was ja nach dem Leibniz-Kriterium
> > konvergiert, oder nicht?
>
> Das fehlende hoch n war nur ein Tippfehler. Die Konvergenz
> der Reihe hatten wir schon weiter oben, zuletzt ging es
> darum, dass sie nicht absolut konvergiert.
Ja, ich weiß. Aber du hast doch gezeigt, dass bei der Voraussetzung, dass [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] absolut konvergent ist, [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}}{k}$ [/mm] konvergent sein müsste, oder nicht? Aber es geht ja um [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right) [/mm] und danach müsste dann ...
Oh, ich merk schon, dann müsste [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}$ [/mm] absolut konvergent sein, was aber nicht der Fall ist, da die harmonische Reihe divergiert. War das dein Ansatz?
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> > Die Quotienten konvergieren gegen 1, sodass du mit dem
> > Quotientenkriterium keine Aussage machen kannst.
>
> Ah ok, danke!
>
> > > Oh, Moment, ich sehe gerade, du hast in deinem Beweis
> > > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm]
> > > geschrieben, es geht aber doch um [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm],
> > > und danach würde doch die Reihe konvergieren, da dann nach
> > > Abzug von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\right)[/mm] gerade
> > > [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}[/mm]
> > > übrigbleiben würde, was ja nach dem Leibniz-Kriterium
> > > konvergiert, oder nicht?
> >
> > Das fehlende hoch n war nur ein Tippfehler. Die Konvergenz
> > der Reihe hatten wir schon weiter oben, zuletzt ging es
> > darum, dass sie nicht absolut konvergiert.
>
> Ja, ich weiß. Aber du hast doch gezeigt, dass bei der
> Voraussetzung, dass [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm]
> absolut konvergent ist, [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}}{k}[/mm]
> konvergent sein müsste, oder nicht? Aber es geht ja um
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}+\frac{1}{k^2}\right)[/mm]
> und danach müsste dann ...
> Oh, ich merk schon, dann müsste
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k}[/mm] absolut
> konvergent sein, was aber nicht der Fall ist, da die
> harmonische Reihe divergiert. War das dein Ansatz?
Ja, also beweis durch Widerspruch:
Wenn die betrachtete Reihe absolut konvergent wäre, würde daraus auch die absolute Konvergenz der harmonischen reihe folgen.
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