Konvergenz von Reihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Benutzen Sie die konvergente Teleskopreihe [mm] \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)} [/mm] als Vergleichsreihe, um zu zeigen, dass die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} [/mm] und auch die Reihen [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} [/mm] für alle k≥2 konvergieren. |
Also ich würde jetzt das Majorantenkriterium anwenden.
Also erstmal eine in der Vergleichsreihe durchführen:
Hieraus folgt:
[mm] \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+n}
[/mm]
Jetzt gilt aber doch:
[mm] \frac{1}{n^2+n} [/mm] < [mm] \frac{1}{n^2}
[/mm]
Dabei muss doch gelten, dass die Glieder der zu bestimmenden Reihe in fast allen Elementen kleiner sind als die der Vergleichsreihe (Minioratenkriterium), was jedoch genau das Gegenteil wäre.. Wo liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mi 27.11.2013 | | Autor: | GossenBoss |
Hätte den Text nochmals durchlesen sollen. Oben wurde eine "Indexverschiebung" durchgeführt, und es handelt sich natürlich um das Majorantenkriterium und nicht um das Minorantenkriterium!
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Hallo,
> Benutzen Sie die konvergente Teleskopreihe
> [mm]\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}[/mm] als Vergleichsreihe, um
> zu zeigen, dass die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/mm]
> und auch die Reihen [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}[/mm] für
> alle k≥2 konvergieren.
> Also ich würde jetzt das Majorantenkriterium anwenden.
> Also erstmal eine in der Vergleichsreihe durchführen:
> Hieraus folgt:
> [mm]\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}[/mm] =[mm]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+n}[/mm]
> Jetzt gilt aber doch:
> [mm]\frac{1}{n^2+n}[/mm] < [mm]\frac{1}{n^2}[/mm]
> Dabei muss doch gelten, dass die Glieder der zu
> bestimmenden Reihe in fast allen Elementen kleiner sind als
> die der Vergleichsreihe (Minioratenkriterium), was jedoch
> genau das Gegenteil wäre.. Wo liegt mein Fehler?
Mach's doch so:
Es ist [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n\ge 2}\frac{1}{n^2}[/mm]
Nun ist [mm]n^2\ge n^2-n=n(n-1)[/mm], also [mm]\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n-1)}[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n\ge 2}\frac{1}{n^2} \ \le \ 1+\sum\limits_{n\ge 2}\frac{1}{n(n-1)}[/mm]
Damit hast du deine konvergente Majorante ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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