Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:
a) [2 Punkte] [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}}
[/mm]
b) [2 Punkte] [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{7^n} \vektor{3n \\ n}. [/mm] |
Ich rechne jetzt schon sehr lange hin und her. Ich komme jedoch auf keinen richtigen Ansatz bei diesen beiden Aufgaben. Ewentuell kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:
>
> a) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}}[/mm]
>
>
> b) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{7^n} \vektor{3n \\ n}.[/mm]
>
> Ich rechne jetzt schon sehr lange hin und her. Ich komme
> jedoch auf keinen richtigen Ansatz bei diesen beiden
> Aufgaben. Ewentuell kann mir jemand helfen?
Welche Konvergenzkriterien hattet ihr bereits?
Wende diese hier an und zeig uns deine Rechnungen.
Tipp:
Bemühe bei b) zunächst den Binomialkoeffizienten, kürze und nutze danach ein Konvergenzkriterium.
Gruß
DieAcht
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Wir hatten: Cauchyk., Wurzelk., Quotientenk., Majorantenk. und Leipnitzk.
Diese Idee hatte ich bei b) schon:
[mm] \bruch{(2n)!(3n+3)!}{7(n+1)(2n+2)!(3n)!}. [/mm] An dieser Stelle weiß ich jetzt nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wir hatten: Cauchyk., Wurzelk., Quotientenk.,Majorantenk. und Leipnitzk.
In deiner Aufgabe steht, dass du die Reihen auf Konvergenz überprüfen sollst.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz,
sodass du im Grunde alle eure Konvergenzkriterien benutzen kannst.
>
> Diese Idee hatte ich bei b) schon:
>
> [mm]\bruch{(2n)!(3n+3)!}{7(n+1)(2n+2)!(3n)!}.[/mm] An dieser Stelle
> weiß ich jetzt nicht weiter.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe auch immer was du benutzt!
Du hast hier den Binomialkoeffizienten benutzt und überprüfst die Reihe auf absoluter Konvergenz durch das Quotientenkriterium!
Tipp: $(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
Übertrage das auch für $(3n+3)!$, kürze nochmal und betrachte den Grenzwert [mm] n\rightarrow\infty.
[/mm]
DieAcht
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Vielen Dank, dass wäre jetzt meine Lösung zu b):
Weil gilt: [mm] ((3n+3)!=(3n)!+(3n+1)^2) \wedge ((2n+2)!=(2n)!+(2n+1)^2) [/mm] folgt nach vielen Schritten:
[mm] \bruch{\bruch{9}{n}+\bruch{6}{n^2}+\bruch{1}{n^3}}{28+\bruch{56}{n}\bruch{35}{n^2}\bruch{7}{n^3}}\to [/mm] 0<1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] q: [mm] ||\bruch{a_(k+1)}{a_k}||<=q=0<1 \Rightarrow [/mm] Konvergenz der Reihe.
Ist das so richtig argumentiert? Kann dieses q auch Null sein? Und welches Kriterium eignet sich für a)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank, dass wäre jetzt meine Lösung zu b):
>
> Weil gilt: [mm]((3n+3)!=(3n)!+(3n+1)^2) \wedge ((2n+2)!=(2n)!+(2n+1)^2)[/mm]
Wie kommst du auf die Addition?
$(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
$(3n+3)!=(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)$
> folgt nach vielen Schritten:
>
> [mm]\bruch{\bruch{9}{n}+\bruch{6}{n^2}+\bruch{1}{n^3}}{28+\bruch{56}{n}\bruch{35}{n^2}\bruch{7}{n^3}}\to[/mm]
> 0<1 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] q: [mm]||\bruch{a_(k+1)}{a_k}||<=q=0<1 \Rightarrow[/mm]
> Konvergenz der Reihe.
So wie es dort steht ist es falsch.
Mach es nochmal.
> Kann dieses q auch Null sein?
Ja.
> Und welches Kriterium eignet sich für a)?
Vermutest du Konvergenz oder Divergenz?
DieAcht
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zu b): Okay, das Ganze konvergiert gegen [mm] \bruch{27}{28}<1 \Subseteq [/mm] Konvergenz.
zu a): Wir sollen die Konvergenz begründen, also ist die Reihe sicher konvergent, ich weiß nur nicht, welches Kriterium das Beste ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zu b): Okay, das Ganze konvergiert gegen [mm]\bruch{27}{28}<1 \Subseteq[/mm]
> Konvergenz.
>
> zu a): Wir sollen die Konvergenz begründen, also ist die
> Reihe sicher konvergent, ich weiß nur nicht, welches
> Kriterium das Beste ist.
Ja, du hast Recht. Ich habe mich verlesen.
Tipp: Majorantenkriterium.
DieAcht
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Okay:
[mm] ||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay:
>
> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.
Übrigens:
[mm] a_n:=\bruch{n+1}{n^5+n^2-1} [/mm] ist zwar eine Nullfolge, aber das ist nur ein notwendiges und
kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz!
Betrag geht übrigens so: $|a|$
DieAcht
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Wieso sollte das nicht reichen? Das Majorantenkriterium besagt doch: Wenn die Summanden von [mm] a_k [/mm] ab einem bestimmten Index [mm] k_0 [/mm] betragsmäßig durch die Summanden von [mm] \alpha_k [/mm] dominiert werden und [mm] \sum \alpha_k [/mm] zusätzlich konvergiert. Dann konvergiert auch [mm] \sum a_k.
[/mm]
Ich habe doch ein [mm] \alpha_k [/mm] := [mm] \bruch{n+1}{n^5+n^2-1} [/mm] gefunden, welches zum Einen konvergiert und zum Anderen betragsmäßig stets größer ist, als [mm] a_k [/mm] := [mm] \sqrt{\alpha_k}. [/mm] Daraus folgt doch nun, laut dem Majorantenkriterium Konvergenz. Wieso sollte es also völliger Blödsinn sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schuricht!
Ist denn hier eindeutig geklärt, ob [mm] $\summe\alpha_{\red{n}}$ [/mm] mit [mm] $\alpha_{\red{n}} [/mm] := [mm] \bruch{n+1}{n^5+n^2-1}$ [/mm] überhaupt konvergiert?
Zudem musst Du auch ein [mm] $\alpha_n$ [/mm] finden mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \alpha_n$ [/mm] , um daraus auf Konvergenz von [mm] $\summe a_n$ [/mm] schließen zu können.
Und dann wurde auch bereits angedeutet, dass für [mm] $\left|a_n\right| [/mm] \ < \ 1$ eben nicht gilt: [mm] $\wurzel{a_n} [/mm] \ le \ [mm] a_n$ [/mm] .
Somit hast Du hier bislang in keinster Weise die Konvergenz der o.g. Reihe nachgewiesen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mi 01.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay:
>
> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für $n>1$ gilt:
[mm] 0<\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}<1
[/mm]
Für [mm] x\in(0,1)\subset\IR [/mm] gilt:
[mm] \sqrt{x}>x
[/mm]
Nehme als Beispiel [mm] x:=\frac{1}{4}, [/mm] dann gilt:
[mm] \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}
[/mm]
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 01.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Okay:
>
> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.
Hallo,
für eine Majorante suchst du größere Brüche als die vorhandenen.
Ein Bruch wird größer, wenn man den Zähler vergrößert oder den Nenner verkleinert odere beides tut.
Vergrößere doch einfach in der oberen Wurzel (n+1) auf 2n, und verkleinere die untere Wurzel durch Weglassen von n²-1.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 04.01.2014 | | Autor: | hamude |
Wie vergrößert bzw verkleinert man den Bruch dann so genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wie vergrößert bzw verkleinert man den Bruch dann so
> genau?
Das hat dir abakus genau geschrieben!
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Tut mir leid, aber ich habe nicht gemerkt, dass du nicht der Fragesteller bist.
Wenn du noch eine Frage dazu hast, dann stell sie ruhig!
Schönen Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 04.01.2014 | | Autor: | hamude |
Kein Problem^^
Mich interessieren die Schritte zum verändern vom Nenner bzw. Zähler, ich verstehe nicht ganz so genau wie abakus das meint.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Wir machen den Zähler größer, damit wird der Bruch insgesamt größer:
[mm] \sqrt{n+1}<\sqrt{n+n}=\sqrt{2n}=\sqrt{2n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{>0}
[/mm]
Wir machen den Nenner kleiner, damit wird der Bruch auch insgesamt größer:
[mm] \sqrt{n^5+n^2-1}>\sqrt{n^5} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{>1}
[/mm]
Damit gilt:
[mm] \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}<\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n^5}}
[/mm]
Kommst du nun weiter?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:36 So 05.01.2014 | | Autor: | hamude |
Ja so Ansatzweise.
Darf ich das einfach so umformen wie du es geschrieben hast?
Um weiter zu machen, soll man nun [mm] \bruch{\wurzel{2n}}{\wurzel{x^{5}}} [/mm] kürzen und dann gegen unendlich laufen lassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:
>
> a) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}}[/mm]
nur mal als Hinweis: Du kannst Dich hier an dem orientieren, was ich nach
dem P.S.
hier (klick!)
geschrieben habe. Die Konvergenz der obigen Reihe folgt mit diesem
Kriterium direkt, wenn man sie mit
[mm] $\sum \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^5}}=\sum \frac{1}{\sqrt{n^4}}=\sum \frac{1}{n^2}$
[/mm]
vergleicht - letzte Reihe konvergiert.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ich glaube, den erwähnte Satz findet man im Heuser unter dem Begriff
Grenzwertkriterium (für Reihen).
Das kann man aber auch nochmal nachschlagen...
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