Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Sa 18.01.2014 | | Autor: | E8248 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{3n+1}{4n^{2}+1}
[/mm]
[...] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe von den zu untersuchenden Reihen erstmal eine ausgesucht.
Meine Idee:
Sie konvergiert nicht, da sie alternierend ist (hat nur zwei Häufungspunkte).
Allerdings konvergiert sie absolut, da der Betrag des Summanden konvergiert.
Problem:
Wenn eine Reihe absolut konvergiert, konvergiert sie auch ansonsten.
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Hallo E8248, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast das Problem ja schon erkannt.
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{3n+1}{4n^{2}+1}[/mm]
>
> [...]
>
> Ich habe von den zu untersuchenden Reihen erstmal eine
> ausgesucht.
> Meine Idee:
> Sie konvergiert nicht, da sie alternierend ist (hat nur
> zwei Häufungspunkte).
Diese Begründung ist Unsinn. Verwende das Leibniz-Kriterium. Die Reihe konvergiert, und zwar gegen irgendwas in der Größenordnung von -0,545.
> Allerdings konvergiert sie absolut, da der Betrag des
> Summanden konvergiert.
Das reicht nicht als Begründung! Dann wäre auch die harmonische Reihe konvergent.
Sollst Du überhaupt absolute Konvergenz nachweisen? Soweit ich sehe, ist die hier nämlich nicht gegeben.
> Problem:
> Wenn eine Reihe absolut konvergiert, konvergiert sie auch
> ansonsten.
Das stimmt. Aber hier ist es so, dass die Reihe konvergiert, aber nicht absolut, wenn ich nicht völlig irre.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 18.01.2014 | | Autor: | E8248 |
Erstmal: Ist meine Definition vom Leibnitzkriterium richtig?
Zu untersuchende Reihe: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i}
[/mm]
Wenn [mm] |a_{i}| [/mm] monoton fallende Nullfolge, konvergiert die obere Reihe.
Zweitens:
Zur Aufgabe habe ich nun folgendes getan:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n+1}{4n^{2}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}{4+\bruch{1}{n^{2}}}=0
[/mm]
und an dem letzten Term sieht man, dass die Folge monoton fallend ist.
Also konvergiert die Reihe.
Ist das korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 18.01.2014 | | Autor: | E8248 |
Edit:
Soweit ich weiß gilt das Leibnizkriterium nur bei alterierenden Reihen, ist das korrekt?
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Hallo,
> Erstmal: Ist meine Definition vom Leibnitzkriterium
> richtig?
> Zu untersuchende Reihe: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}[/mm]
> Wenn
> [mm]|a_{i}|[/mm] monoton fallende Nullfolge, konvergiert die obere
> Reihe.
Nein. Wie du ja inzwischen selbst festgestellt hast, gilt das nur, wenn zusätzlich die Reihenglieder alternierende Vorzeichen haben. Also muss der Betrag der Reihenglieder eine monotone Nullfolge sein.
>
> Zweitens:
> Zur Aufgabe habe ich nun folgendes getan:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n+1}{4n^{2}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}{4+\bruch{1}{n^{2}}}=0[/mm]
>
> und an dem letzten Term sieht man, dass die Folge monoton
> fallend ist.
>
Hm, der Grenzwert wird so klar, aber die Monotonie sehe ich hier noch nicht begründet. Immerhin werden Zählerterm und Nennerterm für wachsende n kleiner.
Ich würde ganz stur die Differenz
[mm] |a_{n+1}|-|a_n|
[/mm]
nachrechnen, die ist nämlich negativ, und damit ist die Monotonie eindeutig gezeigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 18.01.2014 | | Autor: | E8248 |
Das alternierende hatte ich in der zweiten Frage vergessen, das hatte ich dann noch in der Mitteilung geschrieben.
Ich habe nun die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder gebildet, bin für den Zähler auf [mm] (3n+4)(4n^{2})-(3n+1)(4n^{2}+8n+5) [/mm] gekommen und würde gerne jetzt schon behaupten, dass das Ergebnis negativ ist, reicht das als Begründung schon? Und gibt es Möglichkeiten, bei der Rechnung Zeit zu sparen?
Vielen Dank für eure Antworten.
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Hallo,
> Das alternierende hatte ich in der zweiten Frage vergessen,
> das hatte ich dann noch in der Mitteilung geschrieben.
> Ich habe nun die Differenz zweier aufeinander folgender
> Folgenglieder gebildet, bin für den Zähler auf
> [mm](3n+4)(4n^{2})-(3n+1)(4n^{2}+8n+5)[/mm] gekommen
Beim Minuenden hast du im Nenner '+1' vergessen.
> und würde
> gerne jetzt schon behaupten, dass das Ergebnis negativ ist,
> reicht das als Begründung schon? Und gibt es
> Möglichkeiten, bei der Rechnung Zeit zu sparen?
Mathematik funktioniert nicht mit Behauptungen, sondern mit Beweisen. 
Ich halte hier die Differenz für den einfachsten Weg. Wenn man etwas geübt ist im Ausmultiplizieren von Polynomen, dann ist das doch im Prinzip ein Zweizeiler.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 18.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Mathematik funktioniert nicht mit Behauptungen, sondern mit
> Beweisen.
So ist es.
> Ich halte hier die Differenz für den einfachsten Weg. Wenn
> man etwas geübt ist im Ausmultiplizieren von Polynomen,
> dann ist das doch im Prinzip ein Zweizeiler.
Das scheint mir auch so.
Trotzdem führt die alternierende Folge nicht zu einer monotonen Reihe, und die Summation der Absolutwerte ist nicht konvergent.
Das ist m.E. beides noch zu zeigen, zumal wenn die Frage nach absoluter Konvergenz gestellt wird/wurde.
LG
rev
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