Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \frac{1}{5} \frac{1}{1- \frac{2}{5}}=\frac{1}{3}[/mm]
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wie kommt man auf diese Gleichung [mm]\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \frac{1}{5} \frac{1}{1- \frac{2}{5}}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Do 17.03.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ciyoberti!
Danke, uns (mir) geht es auch gut. 
Tipp: Geometrische Reihe.
Gruß
DieAcht
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Hallo an allem,
ich hoffe es geht euch allem gut.
Verstehe ich es richtig: Jeder Reihe der Form [mm] \sum_{k=1}^{n} a q^{k-1}[/mm] ist geometrische Reihe. Die Partialsummen ist [mm] s_{n}= a \frac{1- q^n}{1-q}[/mm]
Wenn ich von der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}=
\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}=
\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^k[/mm] mit [mm]a= \frac{1}{5}[/mm] und q= [mm] \frac{2}{5} [/mm] die Konvergenz untersuchen soll und falls vorhanden ist die Grenzwert bestimmen soll,
was ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^n}{5^{n+1}}=
\frac{1}{5} \frac{1- ( \frac{2}{5})^n}{1- \frac{2}{5}}=
\frac{1}{5} \frac{1}{ \frac{3}{5}}=
\frac{1}{3}[/mm]
und was ist [mm]s=
\lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}=
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} =
\frac{1}{1-q} =
\frac{1}{1- \frac{2}{5}} =
\frac{5}{3}[/mm]
ich bedanke mich für ihre bemühungen im voraus vielen dank
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Hallo,
> Hallo an allem,
> ich hoffe es geht euch allem gut.
> Verstehe ich es richtig: Jeder Reihe der Form
> [mm]\sum_{k=1}^{n} a_{0} q^{k-1}[/mm] ist geometrische Reihe. Die
> Partialsummen ist [mm] s_{n}= a_{0} \frac{1- q^n}{1-q}[/mm]
1) du schreibst ohnedies eine endliche Reihe an ...
Eine geometrische Reihe, ist die Reihe einer Folge, die folgende spezielle Eigenschaft hat : der Quotient (q) zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant.
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}a_{0} q^{k}$
[/mm]
Ist $|q|<1$ so konvergiert die Reihe und es gilt
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}a_{0} q^{k}= a_{0} \frac{1}{1-q}$
[/mm]
Du weißt sicher, dass eine Reihe konvergiert, falls die ihr zu Grunde liegende Folge zur Nullfolge wird - dies ist hier offensichtlich der Fall, da [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}a_{0} q^{k}=0$ [/mm] für $|q|<1$,oder [mm] $a_{0}=0$
[/mm]
sonst ist die Reihe divergent.
Die Partialsummen lauten [mm] $s_{n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} a_{0} q^{k}$.
[/mm]
> Wenn ich
> von der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}=
\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}=
\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^k[/mm]
> mit [mm]a= \frac{1}{5}[/mm] und q= [mm]\frac{2}{5}[/mm] die Konvergenz
> untersuchen soll und falls vorhanden ist die Grenzwert
> bestimmen soll,
> was ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^n}{5^{n+1}}=
\frac{1}{5} \frac{1- ( \frac{2}{5})^n}{1- \frac{2}{5}}=
\frac{1}{5} \frac{1}{ \frac{3}{5}}=
\frac{1}{3}[/mm]
>
> und was ist [mm]s=
\lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}=
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} =
\frac{1}{1-q} =
\frac{1}{1- \frac{2}{5}} =
\frac{5}{3}[/mm]
>
Beides ist der Wert der Reihe - mit dem Unterschied, dass du [mm] \frac{1}{5} [/mm] unten vergessen hast.
> ich bedanke mich für ihre bemühungen im voraus vielen
> dank
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 So 20.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas_Aut!
> Du weißt sicher, dass eine Reihe konvergiert, falls die
> ihr zu Grunde liegende Folge zur Nullfolge wird
Möglicherweise verstehe ich die von dir beabsichtigte Aussage falsch.
Sicherheitshalber:
Ist [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge, so muss die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] noch lange nicht konvergieren, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Thomas Aut,
Ich habe nichts vergessen. [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q}[/mm] steht genau so in mein Lerneinheit geschrieben. Und "s" muss doch die Grenzwert sein oder nicht. ?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 So 20.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Thomas Aut,
> Ich habe nichts vergessen. [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q}[/mm] steht
> genau so in mein Lerneinheit geschrieben. Und "s" muss doch
> die Grenzwert sein oder nicht.
ja, alles korrekt
Fred
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> Vielen Dank.
>
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