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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
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Konvergenz von Reihen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Do 13.07.2017
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen absolut konvergent sind:

a)   [mm] \summe_{K=1}^{unendlich}\bruch{k!}{k^{k}} [/mm]

b)   [mm] \summe_{K=1}^{unendlich}\bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm]

Ist mein Lösungsweg korrekt?
Lösung:

Statt "absolut konvergent" zu prüfen reicht es, Konvergenz zu prüfen, da alle Summanden in a) und b) positiv sind.

a) Notwendige Bedingung:  es gilt: die Folgeglieder streben gegen Null, da  

   [mm] \bruch{k!}{k^{k}} [/mm] < 1  für k [mm] \ge [/mm] 2

wie muss ich hier weiter argumentieren?

Muss man diese notwendige Bedingung jedesmal prüfen?

Hinreichende Bedingung:

a 1) Versuch: Quotientenkriterium

   [mm] \bruch{(k + 1)! * k^{k}}{(k + 1)^{k+1} * k!} [/mm]

= [mm] \bruch{(k + 1) * k^{k}}{(k + 1)^{k+1}} [/mm]

= [mm] \bruch{k^{k}}{(k + 1)^{k}} [/mm]

= [mm] (\bruch{k}{k + 1})^{k} [/mm]

als Folgeglieder für k=1, 2, 3  ergibt sich dafür:  [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{4}{9}, \bruch{9}{16} [/mm]
Damit gelingt mir kein Nachweis des Quotientenkriteriums

a 2) Versuch: Wurzelkriterium    [mm] \wurzel[k]{3} \wurzel[k]{k!} [/mm]

    [mm] \wurzel[k]{\bruch{k!}{k^{k}}} [/mm]

= [mm] \bruch{\wurzel[k]{k!}}{k} [/mm] < 1   da  [mm] \wurzel[k]{k!} [/mm] < [mm] \wurzel[k]{k^{k}} [/mm] = k

=>  absolut konvergent.

b) Notwendige Bedingung:  es gilt: die Folgeglieder streben gegen Null, da  

   [mm] \bruch{k^{2}}{2^{k!}} [/mm] < 1  für k [mm] \ge [/mm] 2

wie muss ich hier weiter argumentieren?

Muss man diese notwendige Bedingung jedesmal prüfen?

Hinreichende Bedingung:

b 1) Versuch: Quotientenkriterium

    [mm] \bruch{(k + 1)^{2} *2^{k}}{2^{k + 1} * k^{2}} [/mm]

= [mm] \bruch{(k + 1)^{2}}{2 * k^{2}} [/mm]

= [mm] \bruch{k^{2} + 2 * k + 1}{2 * k^{2}} [/mm]

= [mm] \bruch{k^{2}}{2 * k^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2 * k}{2 * k^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2 * k^{2}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2 * k^{2}} [/mm]

Damit gelingt mir kein Nachweis des Quotientenkriteriums

b 2) Versuch: Wurzelkriterium

lim für x -> unendlich von [mm] \wurzel[k]{\bruch{ k^{2}}{ 2^{k}}} [/mm]

= lim für x -> unendlich von [mm] \bruch{\wurzel[k]{ k^{2}}}{ 2} [/mm] < 1

=>  absolut konvergent.


        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Fr 14.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen absolut konvergent
> sind:
>  
> a)   [mm]\summe_{K=1}^{unendlich}\bruch{k!}{k^{k}}[/mm]
>  
> b)   [mm]\summe_{K=1}^{unendlich}\bruch{k^{2}}{2^{k}}[/mm]
>  Ist mein Lösungsweg korrekt?
>  Lösung:
>  
> Statt "absolut konvergent" zu prüfen reicht es, Konvergenz
> zu prüfen, da alle Summanden in a) und b) positiv sind.
>  
> a) Notwendige Bedingung:  es gilt: die Folgeglieder streben
> gegen Null, da  
>
> [mm]\bruch{k!}{k^{k}}[/mm] < 1  für k [mm]\ge[/mm] 2
>  
> wie muss ich hier weiter argumentieren?
>  
> Muss man diese notwendige Bedingung jedesmal prüfen?
>  
> Hinreichende Bedingung:
>  
> a 1) Versuch: Quotientenkriterium
>  
> [mm]\bruch{(k + 1)! * k^{k}}{(k + 1)^{k+1} * k!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(k + 1) * k^{k}}{(k + 1)^{k+1}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{k^{k}}{(k + 1)^{k}}[/mm]
>  
> = [mm](\bruch{k}{k + 1})^{k}[/mm]


Sehr schön! [ok]

...= [mm] (\bruch{k}{k + 1})^{k}=\bruch{1}{(\bruch{k+1}{k})^{k}}=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})^{k}} [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}<1 [/mm]



>  
> als Folgeglieder für k=1, 2, 3  ergibt sich dafür:  
> [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{4}{9}, \bruch{9}{16}[/mm]
>  Damit gelingt
> mir kein Nachweis des Quotientenkriteriums
>  
> a 2) Versuch: Wurzelkriterium    [mm]\wurzel[k]{3} \wurzel[k]{k!}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{k!}{k^{k}}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{\wurzel[k]{k!}}{k}[/mm] < 1   da  [mm]\wurzel[k]{k!}[/mm] <
> [mm]\wurzel[k]{k^{k}}[/mm] = k
>  
> =>  absolut konvergent.

>  
> b) Notwendige Bedingung:  es gilt: die Folgeglieder streben
> gegen Null, da  
>
> [mm]\bruch{k^{2}}{2^{k!}}[/mm] < 1  für k [mm]\ge[/mm] 2
>  
> wie muss ich hier weiter argumentieren?
>  
> Muss man diese notwendige Bedingung jedesmal prüfen?
>  
> Hinreichende Bedingung:
>  
> b 1) Versuch: Quotientenkriterium
>  
> [mm]\bruch{(k + 1)^{2} *2^{k}}{2^{k + 1} * k^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(k + 1)^{2}}{2 * k^{2}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{k^{2} + 2 * k + 1}{2 * k^{2}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{k^{2}}{2 * k^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{2 * k}{2 * k^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2 * k^{2}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2 * k^{2}}[/mm]

Sehr schön! [ok]

...< [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}+\bruch{1}{200}=0,605 [/mm] < 1 für alle k>10



>  
> Damit gelingt mir kein Nachweis des Quotientenkriteriums
>  
> b 2) Versuch: Wurzelkriterium
>  
> lim für x -> unendlich von [mm]\wurzel[k]{\bruch{ k^{2}}{ 2^{k}}}[/mm]
>  
> = lim für x -> unendlich von [mm]\bruch{\wurzel[k]{ k^{2}}}{ 2}[/mm]
> < 1
>  
> =>  absolut konvergent.

>  


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Fr 14.07.2017
Autor: Mathemurmel

Wie kann ich die notwenige Bedingung in a) und b) korrekt bearbeiten?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Sa 15.07.2017
Autor: HJKweseleit

Wenn die hinreichende Bedingung (hier: Quotientenkriterium) erfüllt ist, reicht diese also zur Konvergenz hin, und das berdeutet, dass jede hierzu notwendige Bedingung automatisch mit erfüllt sein muss. Hier also: Da das Quotientenkriterium erfüllt ist und dieses zur Konvergenz hinreicht, konvergiert die Summenfolge, und da hierzu notwendig ist, dass es sich um eine Nullfolge handelt, handelt es sich auch um eine. Das muss dann nicht mehr bewiesen werden.

Mit dem notwendigen Kriterium alleine kannst du also die Konvergenz nicht beweisen, wohl aber, dass eine Reihe nicht konvergiert, wenn wenn das notwendige Kriterium nicht erfüllt ist.

Beispiel: [mm] \bruch{n}{2n-1}>\bruch{n}{2n}=\bruch{1}{2} [/mm] ist keine Nullfolge, deshalb kann [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n}{2n-1} [/mm] nicht konvergieren.

Nun aber als Übung:

[mm] 0<\bruch{k!}{k^k}=\bruch{1}{k}*\bruch{2}{k}*\bruch{3}{k}*...\bruch{k}{k}<\bruch{1}{k}*\bruch{k}{k}*\bruch{k}{k}*...\bruch{k}{k}=\bruch{1}{k}*1*1*...*1=\bruch{1}{k} [/mm]

Letzteres ist eine Nullfolge. Die eigentliche Folge wird somit zwischen 0 und einer Nullfolge "eingeklemmt" und muss somit selbst eine Nullfolge sein.





Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Sa 15.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Mathemurmel,

das Quotientenkriterium basiert auf einen Vergleich der Reihenglieder mit der geometrischen Reihe, folglich wird das Majorantenkriterium benutzt.
Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist die geometrische Reihe eine konvergente Majorante an die gegebene Reihe.
Also konvergiert die ursprüngliche Reihe auch => die einzelnen Folgenglieder stellen eine Nullfolge dar.


Gruß X3nion

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Sa 15.07.2017
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Deine Antwort: das Quotientenkriterium basiert auf einen Vergleich der Reihenglieder mit der geometrischen Reihe, folglich wird das Majorantenkriterium benutzt.
Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist die geometrische Reihe eine konvergente Majorante an die gegebene Reihe.
Also konvergiert die ursprüngliche Reihe auch => die einzelnen Folgenglieder stellen eine Nullfolge dar.

Wenn ich das Wurzelkriterium verwende:

Wie verhält es sich dann mit der notwendigen Bedingung, also dem Nachweis,  dass die einzelnen Folgenglieder eine Nullfolge darstellen ?

Muss ich dies dann nachweisen?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:57 So 16.07.2017
Autor: X3nion

Ebenso das Wurzelkriterium basiert auf einem Vergleich mit der geometrischen Reihe und somit basiert es ebenso auf dem Majorantenkriterium, das da lautet:

Voraussetzung:

1) Seien [mm] (a_{n})_{n\ge m}, (b_{n})_{n\ge m} [/mm] zwei Folgen und
2) gelte ferner [mm] |a_{n}| \le b_{n} [/mm] für fast alle n.

3) Ist die Reihe

[mm] \summe_{n=m}^{\infty} b_{n} [/mm] eine konvergente Reihe

DANN
konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=m}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut.


Hier siehst du, dass nicht separat die Voraussetzung geprüft werden muss, ob die Folgenglieder der [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge bilden. Man kann salopp gesprochen sagen, dass das Majorantenkriterium - im Falle der gegebenen Voraussetzungen 1) bis 3) - die Folgenglieder der [mm] a_{n} [/mm] dazu zwingen, die notwendige Voraussetzung für die Konvergenz, nämlich die einer Nullfolge, so erbringen.
Und zwar eine Nullfolge derart, dass die Reihe der [mm] a_{n} [/mm] auch wirklich konvergiert

Denn sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] gegeben, so konvergiert die Reihe natürlich nicht. In diesem Fall findet man eine divergente Minorante, also einen direkten Vergleich der Reihenglieder nach unten hin mit einer Reihe, welche divergiert.


Wenn du noch Fragen hast dann frage gerne konkret nochmal nach, welcher Zusammenhang dir nicht ganz klar ist! :-)


Viele Grüße,
X3nion



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