Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 18.11.2006 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{\nu=1}^{unedl} \bruch{\nu!}{\nu^{100}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{\nu=1}^{unedl} \bruch{1}{(\wurzel[n]{n}-i)^{n}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{\nu=1}^{unedl} \bruch{cos n+isin n}{n²} [/mm] |
Guten Abend liebe Leute. ich habe mir jetzt stundenlang die konvergenzkriterien für reihen angeschaut, aber ich kann mit den defintionen aus den vorlesungen nichts anfangen bzw besser gesagt, ich kann sie nicht anwenden und auch beschreibungen im inet haben mir nicht wirklich weiter geholfen. ich hab jetzt hier drei von acht aufgaben hingeschrieben, in der hoffnung, dass mir jemand an diesen beispielen erklären kann wie ich das Quotientenkriterium und die anderen anwende, weil ich immer erstmal ein beispiel brauche, woran ich sehe wie das funktioniert, die trockene def sagt mir nicht viel. und wann wende ich denn welches kriterium an? bei b) das quotientenkriterium oder das wurzelkriterium? ich steig da einfach nich durch....
ich danke schonmal im vorraus.
PS: wie generiere ich das "unedlich-zeichen"?
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Ich habe mir jetzt ein einfaches Bsp gesucht und versuch mich jetz da mal mit dem quotientenkriterium:
[mm] \summe_{n=0}^{unendl} \bruch{1}{3^{n}}
[/mm]
also müsste ich doch jetz den betrag von [mm] a_{n+1} [/mm] durch [mm] a_{n}
[/mm]
also: betrag von [mm] \bruch{1}{3^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{3^{n}}{1} [/mm]
also: betrag von 1/3<1, also ist die reihe absolut konvergent oder?
oder sehe ich das wiedermal falsch?
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und weil ich jetz einmal angefangen habe es zu verstehen oder auch völligen mist gemacht zu haben, versuch ichs gleich nochmal:
[mm] \summe_{n=1}^{unendl} \bruch{i^{n}}{n}
[/mm]
[mm] |\bruch{i^{n+1}}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n}{i^{n}} [/mm] |
also [mm] |\bruch{in}{n+1}|<1 [/mm] folgt konvergent, oder, jetz bin ich mir nämlich schon wieder nicht mehr sicher... achso i: imaginäre einheit.
wär leib, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw wie ich an die schweren von oben rangehe.
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Bei a) etwa mache dir klar, daß im Nenner immer 100 Faktoren stehen, während es im Zähler [mm]\nu[/mm] Faktoren sind, es also immer mehr werden. Das Ganze ändert sich vom Prinzip her nicht, wenn wir einmal statt der Zahl 100 die Zahl 5 nehmen:
[mm]\sum_{\nu=1}^{\infty}~\frac{\nu!}{\nu^{5}}[/mm]
[mm]\nu = 2: \ \ \frac{2!}{2^5} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = 0{,}0625[/mm]
[mm]\nu = 10: \ \ \frac{10!}{10^5} = \frac{10 \cdot 9 \cdots 2 \cdot 1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = 36{,}288[/mm]
[mm]\nu = 70: \ \ \frac{70!}{70^5} = \frac{70 \cdot 69 \cdots 2 \cdot 1}{70 \cdot 70 \cdot 70 \cdot 70 \cdot 70} \approx 7{,}13 \cdot 10^{90}[/mm]
Versuche, die Beobachtung allgemein zu beschreiben und zu beweisen. Was ist also über diese Reihe zu sagen?
Und bei den anderen Reihen muß es wohl [mm]\nu[/mm] statt [mm]n[/mm] heißen?
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Ok, das system bei dieser aufgabe hab ich verstanden, also müsste die reihe divergent sein, da die einzelnen Glieder schon gegen unendlich gehen und somit die summe auch. Beweisen muss ich das nicht, ich muss nur nach den konvergenzkriterien entscheiden ob divergent oder konvergent. kann ich dann in diesem fall so begründen, dass bei anwendung des quotientenkriteriums der betrag der folge größer null ist, woraus divergenz folgt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 21.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 19.11.2006 | | Autor: | sorry_lb |
> Und bei den anderen Reihen muß es wohl [mm]\nu[/mm] statt [mm]n[/mm] heißen?
Oh verzeihung, richtig.
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