Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Do 28.12.2006 | | Autor: | ex.aveal |
Hallo. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich stehe noch ziemlich am Anfang, und komme mal wieder bei einer Umformung meiner Mathe-Professorin nicht so recht mit.
Wir sollen folgende Summe auf Konvergenz untersuchen:
[mm] \summe_{K=-2}^{\infty} \bruch{5}{k²+17k+72}
[/mm]
über die PBZ komm ich auf [mm] \bruch{5}{k+9} [/mm] + [mm] \bruch{5}{k+8}
[/mm]
meine Professorin aber auf [mm] -\bruch{5}{k+9} [/mm] + [mm] \bruch{5}{k+8} [/mm] ?! Hat das was mit der Summe zu tun? Steh da ziemlich auf dem Schlauch.
Da ich aber in der Partialbruchzerlegung eh nicht wirklich fit bin, wollte ich mal fragen, ob hier evtl ein paar Threads sind, oder jemand Linktipps hat zu Seiten im Internet, wo die PBZ wirklich gut und einfach (auch für mich Dummkopf verständlich) erklärt wird. Wäre super!
Denn in der nächsten Aufgabe soll [mm] \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] zerlegt werden, und da muss ich schon wieder den Kopf in den Sandstecken.
Dankeschön schonmal!
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> [mm]\summe_{K=-2}^{\infty} \bruch{5}{k²+17k+72}[/mm]
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> über die PBZ komm ich auf [mm]\bruch{5}{k+9}[/mm] + [mm]\bruch{5}{k+8}[/mm]
>
> meine Professorin aber auf [mm]-\bruch{5}{k+9}[/mm] + [mm]\bruch{5}{k+8}[/mm]
Hallo,
sie hat recht:
[mm] \bruch{5}{k²+17k+72}=\bruch{5}{(k+8)(k+9)}=\bruch{a}{k+8}+\bruch{b}{k+9}=\bruch{a(k+9)+b(k+8)}{(k+8)(k+9)}=\bruch{(a+b)k+9a+8b}{(k+8)(k+9)}
[/mm]
==> a+b=0 und 9a+8b=5
==> b=-a und a=5
==> a=5 und b=-5
Zur weiteren Information nütztDir vielleicht dies:
 Partialbruchzerlegung
Über die Suchfunktion müßtest Du auch Threads finden, die sich mit Partialbruchzerlegung befassen, meist sicher im Zusammenhang mit Integration.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ex.aveal!
Hier mal der erste Schritt der Partialbruchzerlegung für [mm]\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}[/mm] :
[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k} +\bruch{B}{k+1} +\bruch{C}{k+2} [/mm] \ = \ ...$
Nun auf den Hauptnenner bringen (erweitern), zusammenfassen und Koeffizientenvergleich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 29.12.2006 | | Autor: | ex.aveal |
also ich habe mir das jetzt alles durchgelesen zur PBZ, aber ich ich bringe die zweite Aufgabe immernoch nicht hin, bzw auf das Ergebnis.
bisher:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{A1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{k+2}
[/mm]
1 = A1 (k+1)(k+2) + A2 k(k+2) + A3 k(k+1)
jetzt steh ich aber auf dem Schlauch. Im Beispiel im Link, der oben gepostet wurde, wurde es anhand eines Beispiels erklärt, was sich von dieser Aufgabe unterscheidet, da der Zähler nur den Wert 1, ohne eine Unbekannte hat. Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich geschrieben ;)
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 29.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
du machst es genauso wie in der Antwort vorher gezeigt, nur das du diesmal drei Brüche hast.
[mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1}+\bruch{C}{k+2}
[/mm]
nun erstmal mit den Nennern durchmultiplizieren.
[mm] =\bruch{A(k+1)(k+2)+B(k(k+2))+C(k(k+1))}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
nun alles ausmultiplizieren und Koeffizienten mit gleichen Potenzen zusammenfassen.
[mm] =\bruch{A(k^{2}+3k+2)+B(k^{2}+2k)+C(k^{2}+k)}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{Ak^{2}+A3k+2A+Bk^{2}+2Bk+Ck^{2}+Ck}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{Ak^{2}+Bk^{2}+Ck^{2}+3kA+2kB+Ck+2A}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
und nun wieder ausklammern.
[mm] =\bruch{k^{2}(A+B+C)+k(3A+2B+C)+2A}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
So, den Rest überlasse ich dir. Nun muss nur noch ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten gelöst werden. Die Unbekannten sind in dem Fall A,B,C.
Ich denke das dürfte nicht so schwierig sein.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 29.12.2006 | | Autor: | ex.aveal |
Dankeschön!
Super, ich glaube jetzt alles in Bezug auf die PBZ verstanden zu haben. Habe beide Aufgaben nochmal selber nachgerechnet, und bin auf die Lösungen gekommen. Bei der zweiten Aufgabe bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
2A=1 => A= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
A+B+C=0 => [mm] B+C=-\bruch{1}{2}
[/mm]
3A+2B+C=0 => [mm] 2B+C=-\bruch{3}{2}
[/mm]
==> [mm] A=C=\bruch{1}{2} [/mm] ; B=-1
einsetzen:
[mm] \bruch{1}{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(k+2)}
[/mm]
Nun sollte ich ja auf Konvergenz untersuchen, also...
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = ?
Lösung ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
aber wie kommt man darauf? Es handelt sich ja um eine Harmonische Reihe, und die ist doch eigentlich divergent. Wie und über welchen Weg rechnet sie nun doch den Grenzwert aus?
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> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] -
> [mm]\summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> = ?
>
> Lösung ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> aber wie kommt man darauf? Es handelt sich ja um eine
> Harmonische Reihe, und die ist doch eigentlich divergent.
> Wie und über welchen Weg rechnet sie nun doch den Grenzwert
> aus?
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] [/mm] -
[mm] \summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{2}+\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2}+\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2}-1+\bruch{1}{2})*\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] 0*\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
unabhängig davon, ob [mm] \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] konvergiert oder divergiert!
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