Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 12.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{n\ge 1} x_n [/mm] auf Konvergenz, wenn [mm] x_n [/mm] gegeben ist durch
a) [mm] x_n=\br{1}{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})
[/mm]
b) [mm] x_n=\br{(n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
c) [mm] x_n=\br{n!}{n^n}
[/mm]
d) [mm] x_n=\br{n^4}{3^n}
[/mm]
e) [mm] x_n=\br{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] |
Hallo zusammen.
Danke für eure Hilfe.
zu a)
3. Binomische Formel anwenden auf [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
[mm] x_n=\br{1}{n*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
der Nenner konvergiert gegen [mm] \infty [/mm] und somit ist [mm] x_n [/mm] eine Nullfolge
Die Reihe konvergiert.
zu b)
verwende Quotientenkriterium
[mm] \br{x_{n+1}}{x_n} [/mm] = [mm] \br{((n+1)*n!)^2*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^2} [/mm] = [mm] \br{(n+1)^2*(2n)!}{(2n+2)*(2(n-1)+2)!} [/mm] = [mm] \br{(n+1)^2}{2(n+1)} [/mm] = [mm] \br{n+1}{2}
[/mm]
ABER die Reihe konvergiert trotzdem, obwohl [mm] \br{x_{n+1}}{x_n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert
könnt ihr mir Bitte helfen???
zu c)
auch Quotientenkriterium
[mm] \br{x_{n+1}}{x_n} [/mm] = [mm] \br{(n+1)*n!*n^n}{(n+1)*(n+1)^n*n!} [/mm] = [mm] (\br{n}{n+1})^n [/mm] <1
die Reihe konvergiert
bei d und e komm ich nicht weit.
Dank euch für eure Hilfe und ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Fr 12.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Danke für deine Antwort.
Zu a)
> > [mm]x_n=\br{1}{n*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}[/mm]
würde es gegen [mm] \br{1}{n^2} [/mm] abschätzen, aber wie beweise ich, das [mm] x_n [/mm] kleiner als [mm] \br{1}{n^2} [/mm] ist???
> > zu b)
> > verwende Quotientenkriterium
> > [mm]\br{x_{n+1}}{x_n}[/mm] =
> [mm]\br{((n+1)*n!)^2*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^2}[/mm] =
> [mm]\br{(n+1)^2*(2n)!}{(2n+2)*(2(n-1)+2)!}[/mm] =
> > [mm]\br{(n+1)^2}{2(n+1)}[/mm] = [mm]\br{n+1}{2}[/mm]
> >
> > ABER die Reihe konvergiert trotzdem, obwohl
> > [mm]\br{x_{n+1}}{x_n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] konvergiert
>
> Du hast den Term [mm][2*(n+1)]! \ = \ (2n+2)![/mm] nur unvollständig
> zerlegt:
>
> [mm](2n+2)! \ = \ (2n)!*(2n+1)*(2n+2)[/mm]
FALSCH, denke meine Lösung ist richtig, der letzte Faktor der Fakultät ist (2n+2) und der Rest vorletzte (2(n-1)+2)!=(2n)!
> > zu c)
> >
> > auch Quotientenkriterium
> >
> > [mm]\br{x_{n+1}}{x_n}[/mm] = [mm]\br{(n+1)*n!*n^n}{(n+1)*(n+1)^n*n!}[/mm] =
> > [mm](\br{n}{n+1})^n[/mm] <1
> >
> > die Reihe konvergiert
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber gegen welchen Wert strebt denn
> [mm]\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n[/mm] , damit Du die Aussage mit
> [mm]... \ < \ 1[/mm] treffen kannst?
>
konvergiert gegen Null
> > bei d und e komm ich nicht weit.
>
> Bei Aufgabe d.) kannst Du z.B. das Quotientenkriterium
> anwenden.
[mm] \br{x_{n+1}}{x_n} [/mm] = [mm] \br{(n+1)^4*3^n}{3*3^n*n^4} [/mm] = [mm] \br{1}{3}*( \br{n+1}{n})^4
[/mm]
aber größer 1 konvergiert denoch gegen 15
> Bei Aufgabe e.) musst Du zunächst abschätzen und
> anschließend mit Majoranten- oder Minorantenkriterium
> vorgehen.
gegen was abschätzen???
Dank dir nochmal für deine Hilfe.
Tschüß sagt Röby
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Hallo
zu (b): Loddar hat recht, (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!
zu(c): Es ist [mm] \left(\bruch{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] und das konvergiert gegen e für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
zu(d) [mm] \bruch{x_{n+1}}{x_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\left(\bruch{n+1}{n}\right)^4 [/mm] stimmt
= [mm] \bruch{1}{3}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^4 \rightarrow\bruch{1}{3}*1=\bruch{1}{3} [/mm] < 1 für n [mm] \rightarrow\infty
[/mm]
zu(e): Schätze gegen die harmonische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ab
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
> zu(c): Es ist [mm]\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
> und das konvergiert gegen e für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
Das stimmt so nicht ganz (und würde ja auch die Divergenz der Reihe bedeuten).
Richtig ist: [mm] $\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^{-n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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hehe
hast ja recht, Zähler und Nenner mal wieder vertauscht ;)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 14.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo.
> zu (b): Loddar hat recht, (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!
DAS IST DOCH FALSCH.
(2n+2)!=4*6*8*10*(2(n-1)+2)*(2n+2)=(2n!)*(2n+2)
oder nicht???
dann ist aber das Quotientenkriterium nicht erfüllt, dennoch konvergiert die Reihe.
Wie könnte ich noch weiter vorgehen???
Dank euch und noch einen schönes Sonntag
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 14.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo wieZzZel!
> (2n+2)!=4*6*8*10*(2(n-1)+2)*(2n+2)=(2n!)*(2n+2)
> oder nicht???
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bei dem Term $(2n+2)!_$ werden gemäß Definition der Fakultät alle natürlichen Zahlen aufmultipliziert und nicht nur die geraden:
$(2n+2)! \ = \ 1*2*3*4*...*n*(n+1)*...*(2n-1)*2n*(2n+1)*(2n+2)$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 14.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
mmm
das war dumm von mir.
Dank dir
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Hallo noch mal
mir ist noch was zur (a) eingefallen,
versuche, die Reihe mal abzuschätzen gegen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{n}\right)^q.
[/mm]
Die kovergiert für q>1 (Stichwort Riemannsche Zeta-Funktion)
Gruß
schachuzipus
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