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Konvergenz von Reihen: 3 x Konvergenz feststellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 25.03.2007
Autor: goetz

Aufgabe
Man überprüfe, welche der folgenden Reihen konvergent sind.

a)  [mm] \summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n-1,5} [/mm]

b) [mm] \summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}} [/mm]

c)  [mm] \summe_{n}^{}\bruch{3^n+n^3}{n!} [/mm]

Werte Gemeinschaft,

unser Prof. hat uns leider mit relativ wenig Material bezüglich der Konvergenz von Reihen alleine gelassen und meine Frage ist nun, ob meine Überlegungen dazu richtig sind:

a) Diese Reihe konvergiert, da der Nenner der Folge [mm] \bruch{n^2}{2^n-1,5} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht. Allerdings habe ich keine Idee, wie man das Mathematisch beweisen könnte. Ich weiß nur, dass [mm] 2^n [/mm] schneller wächst, als [mm] n^2. [/mm]

b) Diese Reihe sollte auch konvergieren, da der Nenner konstant 1 bleibt und der Zähler immer weiter wächst. Allerdings wird der Nenner, genau wie oben, die 0 ja nie wirklich erreichen.

c) n! wächst beträchtlich schneller, als der Zähler. Die Reihe konvergiert.

Dies klingt nun Alles sehr unüberlegt und infantil, aber ich habe wirklich keine Ahnung, wie man an solche Aufgaben drangehen könnte. Ich möchte hier schonmal Allen danken, die sich dieser Aufgaben annehmen. Schönen Sonntag zusammen und denkt daran, die Uhren umzustellen ;-)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Guten Morgen goetz!


Die Reihe [mm]\summe_{n}^{}\bruch{3^n+n^3}{n!}[/mm] lässt sich in 2 Teilreihen zerlegen:

[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3^n+n^3}{n!} \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{3^n}{n!}+\bruch{n^3}{n!}\right) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3^n}{n!}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{n!}[/mm]

Und diese beiden Reihen kannst Du nun einzeln untersuchen. Bei der ersten Reihe kannst Du nun das []Wurzelkriterium oder das []Quotientenkriterium anwenden.

Bei der 2. Reihe bietet sich das []Quotientenkriterium an.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Hallo goetz!


Die erste Reihe kannst Du zunächst abschätzen:

[mm] $\summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n-1,5} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n}$ [/mm]

Und nun wie bei Aufgabe c.) entweder mit Wurzel- oder Quotientenkriterium vorgehen (Links siehe oben).


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Hallo goetz!


Und auch bei dieser Reihe [mm]\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}}[/mm] schätzen wir mal ab, nur diesmal in die andere Richtung:

[mm] $\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{2*n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{n}^{}\bruch{1}{n}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 So 25.03.2007
Autor: goetz

Na, vielen Dank erstmal... ich versuche gerade noch das Abschätzen zu begreifen, aber das bekomme ich anhand der Lösungsansätze gut hin. Schönen, sonnigen Sonntag noch.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Hallo goetz!


Für das Abschätzen musst Du bereits einen Verdacht bezüglich Konvergenz oder Divergenz haben, damit Du auch entsprechend gegenüber einer konvergenten oder divergenten Reihe abschätzt.


Gruß
Loddar


Bezug
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