Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Ich habe totale Probleme mit der Konvergenz von Reihen und dem Quotientenkriterium. Dabei muss ich insgesamt fünf AUfgaben damit lösen.
Die erste ist:
( [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{k-1}{k+1} [/mm] ) n [mm] \in \IN
[/mm]
Ich weiß, dass man den Betrag von an+1 durch an teilen muss und dann vereinfachen. So komme ich auf Betrag von [mm] \bruch{-1- \bruch{1}{k}}{1+ \bruch{1}{k- \bruch{2}{k²}}}
[/mm]
aber wie ich jetzt zeigen kann dass das konvergent ist oder auch nicht weiß ich nicht.
Bitte helft mir!
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Hallöchen!
Das Quotientenkriterium ist ein nützliches Kriterium zur Überprüfung der absoluten Konvergenz.
Dazu betrachte:
[mm]\bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}[/mm].
Deine Folge [mm] a_k [/mm] ist also: [mm]a_k = (-1)^k*\bruch{k-1}{k+1}[/mm].
Jetzt setzt Du das mal in das Quotientenkriterium ein.
Ich habe das auch mal gemacht und erhalte
[mm]\bruch{1+1/k}{1+1/k+1/k^2}[/mm].
Wenn man nun den Limes (k gegen unedlich) bildet, erhält man den Grenzwert 1 (ich hoffe, ich habe mich vorher nicht verrechnet).
Dafür macht das Quotientkriterium aber keine Aussage, leider.
Generell:
Ist der Limes <1 ist die Reihe abs. konvergent, bei Limes > 1 divergent.
"=1": keine Aussage möglich!
Dann muss also ein anderes Kriterium her.
Alles klar?
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Oh, dann war es ja kein wunder, dass ich da nicht weitergekommen bin. Aber wie kriege ich denn nun raus, ob das trotzdem konvergent ist?
Muss die Aufgabe nachher abgeben, und habe echt keine Ahnung. Naja, zumindest das Quotientzenkriterium hatte ich ja richtig.
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Morgen!
Leider habe ich jetzt nicht viel Zeit, um das selber auszuprobieren.
Viele Möglichkeiten bleiben aber nicht:
Was man aber immer generell testen muss:
Ist die Folge [mm] a_k [/mm] eine Nullfolge?
Überprüfe das mal al erstes!!!
Falls das nicht der Fall ist, divergiert die Reihe.
Im Falle einer Nullfolge einer Nullfolge, nehme ein neues Verfahren:
Das Wurzelkriterium schliesse ich aus, da man dieses meist anwenden kann, wenn Potenzen von k auftreten.
Daher bleibt nur noch das Leibniz-Kriterium.
Dazu musst du zeigen, dass [mm] a_k [/mm] (ohne [mm] (-1)^k) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Wenn das der Fall ist, konv. die Reihe.
Aber über absolute Konvergenz kannst du dann dennoch keine Aussage machen.
Ich hoffe, du kommst weiter!
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MEiner Meinung müsste doch k-1/k+1 eine Nullfolge sein, oder? denn der Zähler ist doch immer kleiner als der Nenner.Oder reichte das dafür nicht?
Merke immer mehr, dass ich nur noch mechanisch rechne und nicht verstehe, was dahinter steckt.
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Hi, Tintenfisch,
schreib einmal einige Glieder hin,
fasse je ein Paar aufeinanderfolgender Glieder zusammen dann genügt das Majorantenkriterium mit 1/k² als Majorante
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Hi!Danke für den Tip. Leider verstehe ich ihn nicht, denn 1/k² klappt meiner Meinung nach nicht als Majorante, denn ich bekomme doch 0, 1/3, 5/6 für die Glieder der Reihe.
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Hallo Tintenfisch
Positiver Teil: $ [mm] +\bruch{1}{3}+\bruch{3}{5}+\bruch{5}{7}+..+\bruch{2m-1}{2m+1}+..$
[/mm]
Negetiv. Teil: $ [mm] -\bruch{2}{4}-\bruch{4}{6}-\bruch{6}{8}-..-\bruch{2m}{2m+2}- [/mm] ....$
Zusammenfassung [mm] $\bruch{2m-1}{2m+1} [/mm] - [mm] \bruch{m}{m+1}$
[/mm]
muß ich es Vorrechnen? :)
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