Konvergenz von Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 19.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Überprüfe die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{i^n}{n}
[/mm]
Hinweis: Eine Reihe komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sowohl ihr Realteil als auch Imaginärteil konvergiert. |
Hallo,
Ich habe bei dem Hinweis Verständnisprobleme. Man kann den Hinweis so interpretieren, dass "ihr" sich auf die "Reihe" oder "komplexer Zahlen" bezieht.
Wenn "ihr" sich auf die Reihe bezieht, dann komme ich nicht darauf, wie man die Reihe schreiben kann, so dass man den Real- bzw. Imaginärteil bekommt( um die beiden dann auf die Konvergenz zu prüfen.)
Kannst Du mir bitte helfen, wie ich den Summanden umformen soll?
Gruss
Igor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie sieht die Reihe denn aus, wenn du über die geraden und ungeraden n einzeln summierst? Wenn dus nicht siehst schreib die ersten 8 Glieder einzeln hin!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Di 19.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
[mm] \summe_{ni=1}^{\infty}\bruch{i^{2n+1}}{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{i^{2n}}{2n}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Di 19.06.2007 | | Autor: | Harris |
Genau!
Und jetzt ziehst du aus der linken Summe noch ein i raus.
Dann steht bei beiden Summen [mm] i^{2n}, [/mm] was das gleiche ist wie [mm] (-1)^n
[/mm]
Und da der Nenner eine Nullfolge ist, und im Zähler dann dieses [mm] (-1)^n [/mm] steht, konvergiert beides nach Leipzig
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