Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz mittels der Konvergenzkriterien:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{5}{3^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+3^{k}}{4^{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}}{k^{2}+1} [/mm] |
Einen herzlichen Gruß an alle im matheraum,
ich möchte die drei Reihen auf Konvergenz mittels Quotientenkriterium überprüfen, wenn die Glieder einer Reihe die bedingung erfüllen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n_+_1}{a_n}|=q<1
[/mm]
a) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{5}{3^{k+1}}}{\bruch{5}{3^{k}}}|=\bruch{1}{3}<1 [/mm] konvergent
b) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{2^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k+1}}}{\bruch{2^{k}+3^{k}}{4^{k}}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k+1}+3^{k+1}}{4(2^{k}+3^{k})}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2*2^{k}+3*3^{k}}{4*2^{k}+4*3^{k}}|<1
[/mm]
der Grenzwert ist kleiner 1, weil die Summe im Zähler kleiner ist als die Summe im Nenner, konvergent
c) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^{2}*k}{((k+1)^{2}+1)*(k+1)}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{4}+2k^{3}+k^{2}}{k^{4}+2k^{3}+3k^{2}+2k+3}|<1
[/mm]
der Grenzwert ist kleiner 1, weil die Summe im Zähler kleiner ist als die Summe im Nenner, konvergent
Stimmen meine Nachweise im Ansatz oder liege ich völlig falsch?
Zwinkerlippe
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> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz mittels der
> Konvergenzkriterien:
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{5}{3^{k}}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+3^{k}}{4^{k}}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}}{k^{2}+1}[/mm]
> Einen
> herzlichen Gruß an alle im matheraum,
> ich möchte die drei Reihen auf Konvergenz mittels
> Quotientenkriterium überprüfen, wenn die Glieder einer
> Reihe die bedingung erfüllen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n_+_1}{a_n}|=q<1[/mm]
>
> a)
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{5}{3^{k+1}}}{\bruch{5}{3^{k}}}|=\bruch{1}{3}<1[/mm]
> konvergent
Hallo,
das ist richtig.
>
> b)
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{2^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k+1}}}{\bruch{2^{k}+3^{k}}{4^{k}}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2^{k+1}+3^{k+1}}{4(2^{k}+3^{k})}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2*2^{k}+3*3^{k}}{4*2^{k}+4*3^{k}}|<1[/mm]
>
> der Grenzwert ist kleiner 1, weil die Summe im Zähler
> kleiner ist als die Summe im Nenner, konvergent
Das überzeugt mich noch nicht. Auch bei [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] ist der Zähler kleiner als der Nenner, aber der Grenzwert ist =1.
Du solltest hier den GW ausrechnen.
Tip: "oben und unten" mit [mm] \bruch{1}{3^k} [/mm] erweitern.
>
> c)
Wenn Du Dir diese Reihe anschaust, siehst Du, daß [mm] \bruch{k^{2}}{k^{2}+1} [/mm] keine Nullfolge ist.
Die Reihe kann also gar nicht konvergieren.
Deinen Quotienten mußt Du nochmal bilden, da ist etwas schief gegangen.
Gruß v. Angela
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Danke Angela, greife ich Deinen Hinweis auf, erweitern mit [mm] \bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2\cdot{}2^{k}+3\cdot{}3^{k}}{4\cdot{}2^{k}+4\cdot{}3^{k}}|
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2(\bruch{2}{3})^{k}+3}{4(\bruch{2}{3})^{k}+4}|
[/mm]
Ausklammern und Kürzen von [mm] (\bruch{2}{3})^{k}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2+\bruch{3}{(\bruch{2}{3})^{k}}}{4+\bruch{4}{(\bruch{2}{3})^{k}}}|=\bruch{1}{2}<1 [/mm] konvergent
[mm] \bruch{3}{(\bruch{2}{3})^{k}} [/mm] und [mm] \bruch{4}{(\bruch{2}{3})^{k}} [/mm] sind Nullfolgen
Könnte mir bitte jemand einen Hinweis für c geben, ich habe noch keine Idee Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
> Danke Angela, greife ich Deinen Hinweis auf, erweitern mit
> [mm]\bruch{1}{3^{k}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2\cdot{}2^{k}+3\cdot{}3^{k}}{4\cdot{}2^{k}+4\cdot{}3^{k}}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2(\bruch{2}{3})^{k}+3}{4(\bruch{2}{3})^{k}+4}|[/mm]
>
> Ausklammern und Kürzen von [mm](\bruch{2}{3})^{k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2+\bruch{3}{(\bruch{2}{3})^{k}}}{4+\bruch{4}{(\bruch{2}{3})^{k}}}|=\bruch{1}{2}<1[/mm]
> konvergent
>
> [mm]\bruch{3}{(\bruch{2}{3})^{k}}[/mm] und
> [mm]\bruch{4}{(\bruch{2}{3})^{k}}[/mm] sind Nullfolgen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das glaube ich nicht so recht, es geht zwar [mm] (\bruch{2}{3})^{k} [/mm] gegen 0, aber [mm] \frac{3}{(\bruch{2}{3})^{k}} [/mm] geht doch dann gegen [mm] \infty
[/mm]
Aber wie wär's, wenn du die (b) mal mit dem Majorantenkriterium angehst, da geht das super schnell:
Vergrößere mal geschickt den Zähler, dann kannst du gegen eine konvergente geometrische Reihe abschätzen, ist ein 2-Zeiler 
>
> Könnte mir bitte jemand einen Hinweis für c geben, ich habe
> noch keine Idee Zwinkerlippe
bei (c) würde ich empfehler, das Biest erstmal umzuschreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}}{k^{2}+1} =\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}\red{+1-1}}{k^{2}+1} =\summe_{k=1}^{\infty}\left( 1-\frac{1}{k^2+1}\right)
[/mm]
Und hier sollten alle Alarmglocken klingeln
LG
schachuzipus
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Danke schachuzipus, sehe ich die Summen nach deiner vorgeschlagenen Umformung, sage ich divergent, ich habe mich auch noch einmal an das Quotientenkriterium gesetzt, um es zu bestätigen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^{2}*(k^{2}+1)}{((k+1)^{2}+1)*k^2}|
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+2k+1}{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}}|
[/mm]
jetzt würde ich Zähler und Nenner mit [mm] \bruch{1}{k^{4}} [/mm] multiplizieren, dann sollte Grenzwert 1 rauskommen, im Zähler steht 1, im Nenner steht 1, das andere sind Nullfolgen, somit ist die Summe divergent??
Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
da scheint mir aber was nicht zu stimmen, das sieht mir irgendwie falsch erweitert aus.
Wie dem auch sei, wenn du als Grenzwert von [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1 [/mm] rausbekommst,
hilft dir das leider gar nicht, das QK besagt Konvergenz für GW q mir q<1 und Divergenz für GW q mit q>1
Kommt GW q=1 raus, ist das QK unbrauchbar.
Dann musste ein anderes Kriterium nehmen oder wie gesagt, einfacher ist zu sagen, dass die Folge der Reihengleider nicht gegen Null konvergiert - sieh man so oder mit der obigen Umformung im anderen Post - also notwendige Bedingung für die Reihenkonvergenz nicht erfüllt.
Damit ist die Reihe divergent
Gruß
schachuzipus
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[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(k+1)^{2}*(k^{2}+1)}{((k+1)^{2}+1)*k^2}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+2k+1}{k^{4}+2k^{3}+2k^{2}}|[/mm]
>
> jetzt würde ich Zähler und Nenner mit [mm]\bruch{1}{k^{4}}[/mm]
> multiplizieren, dann sollte Grenzwert 1 rauskommen, im
> Zähler steht 1, im Nenner steht 1, das andere sind
> Nullfolgen,
Hallo,
richtig.
Der Grenzwert ist =1.
> somit ist die Summe divergent??
Die Summe konvergiert zwar wirklich nicht, aber das kannst Du, wie schachuzipus bereits sagte, in diesem Fall NICHT aus dem Quotientenkriterium schließen. Ist der GW des Quotienten =1, weiß man ohne weitere Untersuchungen NIX.
Ich hatte Dich ja in einem anderen Post bereits darauf hingewiesen, daß [mm] k^2/(k^2+1) [/mm] keine Nullfolge ist. Daher kann die Reihe gar nicht konvergieren.
Gruß v. Angela
>
> Zwinkerlippe
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Danke Angela, ich habe noch einmal nachgelesen für Grenzwert gleich 1 funktioniert das Quotientenkriterium ja nicht, du hast in Deinem 1. Post geschrieben, [mm] k^2/(k^2+1) [/mm] ist keine Nullfolge somit divergent, das ist mir klar, aber wenn du schreibst:"Wenn Du Dir diese Reihe anschaust, siehst Du.." leider habe ich noch nicht den Blick bzw. Erfahrung das gleich zu sehen, kannst du mir dazu einige Tricks verraten, Zwinkerlippe
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> leider habe ich noch nicht den Blick bzw.
> Erfahrung das gleich zu sehen, kannst du mir dazu einige
> Tricks verraten
Mit Erfahrung bringst Du das wichtigste Stichwort:
immer wieder üben. Das meiste wiederholt sich irgendwann, und wenn man die Dinge oft macht, kriegt man ein Auge dafür. Ein Kochrezept gibt es nicht.
Wenn in [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] die Folge [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge ist, kann man gleich aufhören, das Ding konvergiert nicht.
Aber Vorsicht: wenn's eine Nullfolge ist, muß es noch lange nicht konvergieren.
Die Sache, die ich oben gezeigt hatte, das mit dem Dividieren, ist ein Standardtrick, kommt immer wieder gerne dran.
Wenn Du mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium arbeiten willst, mußt Du einige einschlägige Reihen zum Abschätzen kennen. Sehr wichtig sind die geometrische Reihe [mm] \summe_k q^k, [/mm] die Reihe [mm] \summe_k \bruch{1}{k^2} [/mm] und die divergierende Reihe [mm] \summe_k \bruch{1}{k}.
[/mm]
Üben, üben, üben.
Gruß v. Angela
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Ich danke ganz herzlich für die geduldigen Erklärungen, also Übung macht den Meister,
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> Danke Angela, greife ich Deinen Hinweis auf, erweitern mit
> [mm]\bruch{1}{3^{k}}[/mm]
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2\cdot{}2^{k}+3\cdot{}3^{k}}{4\cdot{}2^{k}+4\cdot{}3^{k}}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2(\bruch{2}{3})^{k}+3}{4(\bruch{2}{3})^{k}+4}|[/mm]
>
Hallo,
hier kannst Du direkt ansetzen. Bilde jetzt den Grenzwert.
> Könnte mir bitte jemand einen Hinweis für c geben,
Da Du schriebst "Quotientenkriterium", solltest Du unbedingt den Quotienten bilden (vorhin hattest Du das falsch gemacht) und gucken, was Du hier bekommst.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2(\bruch{2}{3})^{k}+3}{4(\bruch{2}{3})^{k}+4}|=\bruch{3}{4}<1
[/mm]
somit konvergent, [mm] (\bruch{2}{3})^{k} [/mm] sind Nullfolgen es bleiben also 3 bzw. 4 stehen??
Zwinkerlippe
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{2(\bruch{2}{3})^{k}+3}{4(\bruch{2}{3})^{k}+4}|=\bruch{3}{4}<1[/mm]
>
> somit konvergent, [mm](\bruch{2}{3})^{k}[/mm] sind Nullfolgen es
> bleiben also 3 bzw. 4 stehen??
Haargenau.
Gruß v. Angela
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